6.3平面向量线性运算的应用 [学习目标] 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决几何问题、物理问题的能力. 导语 向量集“数”与“形”于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,另外向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰. 一、向量基底法在平面几何中的应用 例1 设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,AB∥DC,试用平面向量证明:PQ∥AB. 证明 设=λ(λ>0且λ≠1), 因为=-=+- =+(-) =+[(-)-(+)] =+(-) =(+)=(-λ+1), 所以∥,又P,Q,A,B四点不共线, 所以PQ∥AB. 反思感悟 用向量解决平面几何问题的方法之一 向量基底法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. 跟踪训练1 如图所示,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE交CD于点P,求△APC的面积. 解 设=a,=b为一组基底, 则=+=a+b, =+=a+b, ∵点A,P,E三点共线, ∴存在实数λ使得=λ=λa+λb. ∵点D,P,C三点共线, ∴存在实数μ使=μ=μa+μb. 又∵=+=a+μb, ∴ ∴S△PAB=S△ABC=14×=8(cm2), S△PBC=S△ABC=×14=2(cm2), 故S△APC=14-8-2=4(cm2). 二、向量坐标法在平面几何中的应用 例2 如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用平面向量证明PA=EF. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为a,||=λ(λ>0), 则F,P,E,A(0,a). 所以=,=, 因为||2=+=λ2-aλ+a2, ||2=+=λ2-aλ+a2, 所以||=||,即PA=EF. 反思感悟 用向量解决平面几何问题的方法之二 向量坐标法:对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题),通过建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,利用代数运算解决平面几何中的长度、平行等问题. 跟踪训练2 如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=λ+μ,则λ+μ的最大值为 . 答案 3 解析 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略),设正方形的边长为2,点P的横坐标为x,x∈[0,2],则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(x,2). ∴=(2,2),=(2,-2),=(x,2). ∵=λ+μ=λ(2,-2)+μ(x,2)=(2λ+xμ,-2λ+2μ), ∴解得 ∴λ+μ=. 令f(x)==-1(0≤x≤2), ∵f(x)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)max=f(0)=3. 三、向量在物理中的应用 知识梳理 我们在物理中已经学习过,利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时,我们都可以借助向量来完成. (1)力、速度、位移的合成就是向量的加法,符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. (2)力、速度、位移的分解就是向量的减法,符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则. (3)动量mv就是数乘向量,符合数乘向量的运算律. 注意点: 用向量方法解决物理问题的步骤 (1)转化:把物理问题中的相关量用向量表示,转化为向量问题的模型. (2)运算:通过向量的运算使问题得以解决. (3)还原:把结果还原为物理问题. 例3 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求绳子AC和BC所受拉力的大小.(绳子的重量忽略不计) 解 如图所示,设,分别表示绳子AC,BC所受的拉力,10 N的重力用表示,则+=. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°, ∠FCG=180°-120°=60°. ∴||=||cos 30°=10×=5(N), ||=||cos 60°=10×=5(N). 故绳子AC所受的拉力为5 N,绳子BC所受的拉力为5 N. 反思感悟 由于力、位移、速度都是向量,对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决. 跟踪训练3 一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速 ... ...
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