习题课 平面向量的综合问题 [学习目标] 会利用向量的有关知识去解决平面向量的综合问题. 一、共线向量定理的应用 例1 如图所示,在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF相交于G点,记=a,=b,试用基底{a,b}表示. 解 ∵E,G,C三点共线, ∴由平面内三点共线可得:存在唯一的实数x使得=x+(1-x), ∵==a,=a+b, ∴=x×a+(1-x)(a+b)=a+(1-x)b. ① 又∵F,G,B三点共线,∴由平面内三点共线可得:存在唯一的实数λ使得=λ+(1-λ)·, ∵==b, ∴=λa+(1-λ)b. ② 由①②两式可得 ∴∴=a+b. 反思感悟 本题的解法中由两组三点共线(F,G,B以及E,G,C三点分别在一条直线上),利用平面内三点共线构造方程组求解,避免了用向量的加法和平面向理基本定理解答本题的复杂运算,达到了简化解题过程的目的. 跟踪训练1 如图,直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于点K,其中=,=,=λ,则λ的值为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 因为=,=, 所以=,=2. 由向量加法的平行四边形法则可知,=+,所以=λ=λ(+)=λ=λ+2λ, 由E,F,K三点共线, 可得λ+2λ=1,解得λ=. 二、平面向量基本定理的应用 例2 如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则等于 ( ) A.- B.- C.-+ D.-+ 答案 C 解析 方法一 如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-, 所以=+=+ =+=+, 于是=-=- =-=-+. 方法二 =+=+ =-+ =-+ =-+++(++) =-+. 反思感悟 平面向量基本定理离不开向量的线性运算. 跟踪训练2 如图,半径为的扇形AOB的圆心角为120°,点C在上,且∠COB=30°,若=λ+μ,则λ+μ等于 ( ) A. B. C. D.2 答案 A 解析 由题意,得∠AOC=90°,故以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系如图所示, 则O(0,0),A(0,),C(,0), B. 因为=λ+μ, 所以(,0)=λ(0,)+μ, 即则 所以λ+μ=. 三、向量线性运算中的最值与范围问题 例3 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足=m+n(m,n均为正实数),求+的最小值. 解 由题意得=+=-, 所以=m+n =m+n =+n, 由P,B,C三点共线得, m-n+n=m+n=1(m,n>0), 所以+= =++≥+2 =+=(当且仅当3n2=4m2时取等号), 即+的最小值为. 反思感悟 利用向量的概念及基本运算,将所求问题转化为相应的等式关系,然后用均值不等式求最值. 跟踪训练3 如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若=m+n,则m+n的取值范围是 . 答案 (-1,0) 解析 由点D是圆O外一点,可设=λ(λ>1), 则=+λ=λ+(1-λ). 又因为C,O,D三点共线, 令=-μ(μ>1), 则=--(λ>1,μ>1), 所以m=-,n=-, 则m+n=--=-∈(-1,0). 四、向量在三角形中的应用 例4 (1)已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,求m的值. 解 由题意知,点M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于点D(图略). 则=. ① 又∵AD为BC边上的中线, ∴+=2=m, 即2=m. ② 由①②可得m =3. (2)已知△ABC满足-=k(其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是 ( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 答案 C 解析 如图,取=, =, ∴||=||=1. 又∵-=k, ∴-=k, ∴=k,∴EF∥BC, ∴=, ∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形. 反思感悟 充分利用向量知识找到三角形中边或角之间的关系是解题的突破口. 跟踪训练4 已知点O是△ABC内部一点,并且满足2+3+5=0,△OAC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则等于 ( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 ∵2+3+5=0, ∴2(+)=-3(+). 设AC的中点为M,BC的中点为N(图略), 则2=-3, ∴MN为△ABC的中位线,且=, ∴S△OAC=2S△OMC=2×S△CMN=×S△ABC=S△ABC,即=. 1.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为 ( ) A.m= B.m≠ C.m≠ D.m ... ...
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