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课件网) 8.6.1 直线与直线垂直 第八章 立体几何初步 课程目标 1. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角. 2. 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 异面直线的定义: 相交直线：有一个公共点 平行直线：无公共点 异面直线：无公共点 空间两直线 的位置关系 基本事实４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． 等角定理： 复习回顾 如图，在正方体 中，直线 与直线AB，直线 与直线AB都是 异面直线，直线 与 相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示 这种差异呢？ 观察： 不同 本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系。 在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度也就是一条直线相对另一条直线倾斜的程度, 如图. O 类似的，我们也可用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系 异面直线所成的角 已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角） 异面直线所成的角 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变 （1）如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作⊥ （2)异面直线所成角（即异面直线的夹角）的范围0°<α≤90° （3）当两条直线平行时规定所成角为0°。所以空间两条直线所成角的范围0°≤α≤90° 两条直线互相垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 例1：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’ （1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？ （2）求直线BA’与CC’所成角的大小 （3）求直线BA’与AC所成角的大小 解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直。 （2）因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。 （3）如图，连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. (2)计算角：求角度，常利用三角形. (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 例2：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD 证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体 ∴BB’//DD’,BB’=DD’ ∴四边形BB’DD’是平行四边形 ∴B’D’//BD ∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角 连接AB’,AD’易证AB’=AD’ 又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点 ∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD ， O’ 课堂小结 1、异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作—证—求 2、异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] o o 作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法: ① ... ...
