3.3 幂函数 课标要求 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，归纳出幂函数的基本性质. 【引入】 我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 一、幂函数的概念 探究1 给出函数：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x，这些函数的解析式有什么共同的特征？这类函数解析式的一般形式应如何表示？ 提示 解析式都具有幂的形式而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用y＝xα表示. 【知识梳理】 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 温馨提示 幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 例1 (1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(链接教材P91练习T1)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋m＋3是幂函数，则m＝_____. 答案 (1)B (2)－3 解析 (1)∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数. (2)由题意解得m＝－3. 思维升华 1.判断一个函数是否为幂函数的依据是幂函数的定义. 2.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数. 训练1 (1)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于_____. (2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( ) A.2 B.1 C. D.0 答案 (1)16 (2)A 解析 (1)设f(x)＝xα，因为f(4)＝16， ∴4α＝16， 解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. (2)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. 二、幂函数的图象与性质 探究2 在同一坐标系中分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，思考并回答： (1)函数图象有什么共同特征？ 提示 五个幂函数的图象均过定点(1，1). (2)在第一象限，函数图象具有哪些特点？ 提示 ①当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势. ②当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势. 【知识梳理】 幂函数的性质与图象 (1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x－1的图象都通过点(1，1). (2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数. (3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x单调递增，函数y＝x－1单调递减. (4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. 温馨提示 (1)当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸. (2)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限. (3)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称. (4)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小. 例2 (1)若幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)x2m－3的图象与x轴没有交点，则f(x)的图象关于_____对称( ) A.原点 B.x轴 C.y轴 D.不确定 (2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( ) 答案 (1)A (2)C 解析 (1)因为函数为幂函数，且与x ... ...
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