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课件网) 3.3 二项式定理与杨辉三角 第1课时 二项式定理 【学习目标】 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.能解决与二项式定理及二项展开式的通项公式有关的问题. 知识点一 二项式定理 二项式定理: . （1）项数: 次二项展开式共有_____项. （2）次数:字母的次数从逐项递减到0,是_____;字母 的次数从0逐项 递增到,是_____;各项次数的和均为二项式的次数 . （3）二项式系数:称为第 项的二项式系数. 降幂排列 升幂排列 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）的展开式中有 项.( ) × （2）与 的展开式的二项式系数相同.( ) √ （3）的展开式中某一项的二项式系数与， 无关.( ) √ （4） 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 与该项的二项式系数不同.( ) √ 知识点二 二项展开式的通项公式 展开式的第_____项称为二项展开式的通项公式,记作 _____. 在二项式定理中,令, ,则有 . 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）是的展开式中的第 项.( ) × [解析] 是的展开式中的第 项. （2）在的展开式中，含的项为 .( ) √ [解析] 的展开式的通项为 ，令 ，得 . （3）在的展开式中各项系数的和为 .( ) √ [解析] 由展开式特点，令，可得展开式中各项系数的和为 . 探究点一 二项式定理的正用、逆用 例1（1） 的展开式为_____. [解析] . （2）已知 ,则 ____. [解析] ，， ， ,， . （3）化简: _____. [解析] 原式 . 变式（1） 求 的展开式. 解：方法一： . 方法二： . （2）化简： . 解：，， ， 原式 . ［素养小结］ 二项式定理应用策略： （1）正用：二项展开式的特点是第一项的指数从 次降到0次，第二项从0次升 到次，过程中两项的次数和为 ，因此应用正向展开式一定要分清第一项和第 二项，而且要注意两项的次数间的关系.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会 更简便. （2）逆用：逆向应用的条件首先要观察是否满足两项的幂指数和是否为 ，然 后确定第一项、第二项，一些问题中涉及全部展开式问题，要注意是否缺项. 探究点二 二项展开式的通项公式的应用 例2（1） [2023·江苏盐城高二期末] 在的展开式中，含 的项的系 数为____. 10 [解析] 的展开式的通项为 ， 令,解得,故展开式中含的项的系数为 . （2）[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 已知 的展开式的第7项 与倒数第7项的比是 ，则展开式中的第7项为___. [解析] 根据题意可知 ， ，由 ，可得 ，所以 ，解得，所以 . 变式（1） [2024·辽宁锦州高二期末]已知 ，则 ( ) D A. B. C.30 D.60 [解析] 设，则 ，所以 的展开式的通项 为，令，解得 ，则 .故选D. （2）[2023·甘肃白银靖远一中高二期末] 的展开式中，有理项的 个数为___. [解析] 的展开式的通项为 ，若 为整 数，则 可取0,3,6，所以共有3个有理项. ［素养小结］ 求二项展开式的待定项的常用方法： （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）. （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整 数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其 属于整数集，再根据数的整除性来求解. （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数， 求解方式与求有理项一致. 探究点三 求两个多项式积的特定项 例3（1） [2023·西宁湟川中学高二期末] 的展开式中的常数 项是( ) B A. B. C. D.20 [解析] 的展开式的通项为，令 ， 得，令，得，所以 的展开式中的常数 项是 .故选B. （2）的展开式中含 的项的系数为_____. [解析] ，的展开式中含 的 项为，的展开式中没有含 的项，故 的展开式中含的项的系数为 ... ...
