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课件网) 3.3 二项式定理与杨辉三角 第2课时 二项式系数的性质与 杨辉三角 【学习目标】 1.能解决与二项式定理及二项展开式有关的问题； 2.掌握二项式系数的性质及应用； 3.了解杨辉三角. 知识点一 二项式系数的性质 对称性 与首末两端“_____”的两个二项式系数相等 _____) 最大值 当是偶数时,中间一项的二项式系数_ ___最大,当 是奇数时,中间 两项的二项式系数_ ____,_____相等且最大 各二项式 系数的和 ____； _____ 等距离 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( ) × [解析] 二项式系数不同于某一项的系数. （2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) × [解析] 二项式系数最大的项为中间一项或中间两项. （3）二项展开式的系数的和等于 .( ) × [解析] 二项展开式的二项式系数的和等于 . （4）当是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 是奇数时，中间两项的二 项式系数， 相等且最大.( ) √ 知识点二 杨辉三角及其性质 1.如图所示的数表是从我国南宋数学家杨辉著的 《详解九章算术》中摘录的,是我国古代数学的一 个重要成果,这一数表在我国称为“贾宪三角”或 “杨辉三角”. 2.杨辉三角至少具有以下性质： （1）每一行都是_____，且两端的数都是___； （2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的 _____. 对称的 1 两数之和 探究点一 二项展开式项的系数和 例1 设 ,求下列各式的值. （1） ; 解:令,可得 . （2） ; 解:令,可得 , 所以 . （3） ; 解:令,可得 , 令,可得 , 所以 . （4） ; 解: . （5） . 解:令 ,可得 . 变式 已知 . 解: ,令 ,则 . （1）求 的值; . （2）求 的值; 解:令,得,令 ,得 ,所以 . （3）求 的值. 解:由（2）得 . ［素养小结］ “赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活 赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 可得 常数项，令可得所有项的系数之和，令 可得偶次项系数之和与奇次 项系数之和的差. 探究点二 二项式系数的性质的应用 例2（1） 已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开 式中各项系数的最小值为( ) C A. B. C. D. [解析] 展开式中只有第5项的二项式系数最大，，则 的展开 式的通项为，,1， ，8，则该展 开式中各项的系数，,1， ，8. 若求各项系数的最小值，则 为奇数且 即得 ，故系数的最小值为 .故选C. （2）若 的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项系 数最大，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. [解析] 因为二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以,解得，则 的展开式的通项为 ，依题意可知 解得 .故选C. 变式 已知 的展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和 大992. 解：令，得展开式中各项的系数之和为 ，因为展开式中各项 的二项式系数之和为，所以，所以 ，即 ， 解得（舍去）或，所以 . （1）求展开式中二项式系数最大的项； 因为 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们 分别是 ， . （2）求展开式中系数最大的项. 解： 展开式的通项为 . 假设第项的系数最大，则有 所以即 解得,因为，所以 ， 所以展开式中系数最大的项为 . ［素养小结］ （1）求展开式中二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质知，当 为奇数 时，中间两项的二项式系数最大；当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，系数最大的 项与各项系数的正、负变化情况有关，一般采用列不等式组，解不等式的方法 求得.即设展开式中系数最大的项为，则有 解出 ... ...
