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课件网) 3.3 二项式定理与杨辉三角 第3课时 二项式定理的应用 【学习目标】 1.能解决与二项式定理有关的整除问题； 2.能利用二项式定理求值； 3.能利用二项式定理证明等式（或不等式）. 探究点一 利用二项式定理证明整除问题 例1（1） 证明 能被7整除. 证明: ,上式中各项均能被7整除,所以 能被7整除,得证. （2）试求 除以8的余数. 解：,因为其展开式中除末项 外,其余的各项均含有8 这个因数,所以除以8的余数与 除以8的余数相同. 因为 ,其展开式中除末项1外,其余的各项均含有8这个因 数,所以 除以8的余数为1. 故 除以8的余数为1. （3）求证 能被64整除. 证明: ， 上式中的每一项都含有 这个因数,故原式能被64整除. 变式（1） 若是正整数，则 除以7 的余数是_____． 1或6 [解析] 根据二项式定理可知， ，又 当 为偶 数时，除以7的余数为1；当 为奇数时，除以7的余数为6. （2）如果今天是星期二，那么经过 天后是星期____. 三 [解析] ，即 除以7的余数为1，故经过 天后是星期三. ［素养小结］ 用二项式定理解决整除（或余数）问题时,一般需要先将底数写成除数 的整数倍加上或减去 的形式,再利用二项展开式求解. 拓展 已知，，用二项式定理证明:能被 整除. 证明: ， ,,是正整数，故 能 被 整除. 探究点二 利用二项式定理求值 例2（1） 已知 ，则 ___. 6 [解析] ，即 ，解得 . （2）的近似值为_____.（精确到 ） 1.13 [解析] . 变式 的近似值是_____.（精确到 ） [解析] . ［素养小结］ 利用二项式定理求值，需注意： （1）已知展开式时，需准确找出定理中的, 在题目中的具体指向； （2）求近似值时，能够运用二项式定理准确拆分与展开. 探究点三 利用二项式定理证明 例3（1） 求证：对任意正整数 ， ． 证明： ， ． （2）利用二项式定理证明： ． 证明： 因为, ,所以 ， 所以，所以 . 变式 证明： . 证明：因为, ， 所以，所以 . ［素养小结］ 运用二项式定理证明时，根据所证式子进行适当变形，在不等式的证明中要对 式子进行适当的放缩. 1. 被7除的余数为( ) D A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] ， 展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以 被7除的余数 等于 被7除的余数，显然余数为3.故选D. 2. 等于( ) C A. B.1 C. D. [解析] .故选C. 3.利用二项式定理计算 ，则其结果精确到0.01的近似值是( ) D A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 [解析] ．故选D. 4.利用二项式定理证明： ． 证明：因为， ，所以 ， 所以 . 在利用二项式定理证明不等式时，可对展开式进行适当放缩. 1.利用二项式定理解决整除问题时，要巧妙构造二项式. 例1 [2023·山东泰安高二期中] 若，且能被17整除，则 的最 小值为( ) B A.0 B.1 C.16 D.18 [解析] 由题意， . 因为 能被17整除，而 能被17整除,所以 也能被 17 整除,所以 ,,即,,所以 的最小值为1.故选B. 2.利用二项式定理证明不等式时，要学会准确拆分和适当放缩. 例2 若，求证： ． 证明： ， ． 综上，当时， ． ... ...
