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课件网) 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.2 乘法公式与全概率公式 【学习目标】 1.理解并掌握乘法公式与全概率公式； 2.了解贝叶斯公式； 3.能应用乘法公式与全概率公式解决具体情境下的概率. 知识点一 乘法公式 根据事件发生的概率,以及已知事件发生的条件下事件 发生的概率,可以求出 与同时发生的概率,即 _____.一般地,这个结论称为乘法公式. 知识点二 乘法公式的推广 假设表示事件,,2,3,且,,表示已知 与 都发生时发生的概率,表示,, 同时发生的概率,则 _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） .( ) × （2） ，其中 ，， .( ) √ （3） .( ) √ 知识点三 全概率公式 1.全概率公式：一般地,如果样本空间为 ,而,为事件,则与 是_____的, 且_____,从而 _____. 当且时,有 _____. 互斥 2.定理1 若样本空间 中的事件,, , 满足: （1）任意两个事件均互斥，即 ，,，2， ,， ； （2） ； （3），，2， ， . 则对 中的任意事件，都有 ，且 _ _____，上述公式也称为全概率公式． 当 时的情形可借助下图来理解. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）全概率公式 ,本质上是将样本空间分成 互斥的两部分后得到的.( ) √ （2） .( ) × （3）全概率公式体现了转化与化归数学思想，即采用化整为零的方式，把各块 的概率分别求出，再相加即可.( ) √ *知识点四 贝叶斯公式 1.贝叶斯公式的定义 一般地，当且 时，有 . 这称为贝叶斯公式. 2.贝叶斯公式的推广 定理2 若样本空间 中的事件,, , 满足： （1）任意两个事件均互斥，即 ，,,2, ,, ; （2） ； （3），,2, , . 则对 中的任意概率非零的事件，有 . 上述公式也称为贝叶斯公式. 探究点一 乘法公式的应用 例1（1） [2023·辽宁抚顺高二期中]已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱 中有5个白球和3个红球，小球除颜色外完全相同.现随机从1号箱中取出一球放 入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( ) C A. B. C. D. [解析] 设A表示从1号箱中取到红球放入2号箱，设B表示从2号箱中取到红球.由 题意知， ，所以 ，所以两次都取到红球的概率是 .故选C. （2）已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件 发生 的条件下，事件发生的概率为，则在事件发生的条件下，事件 发生的概 率为_____. 0.75 [解析] 由已知可得，， ，则 ，故 . 变式（1） 某食物的致敏率为 ，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹 的概率为 ，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为( ) A A. B. C. D. [解析] 记事件A为“食用该食物过敏”，事件B为“嘴周产生皮疹”，则 ，，所以 . 故选A. （2）某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为 ，若第一次落下未 打破，则第二次落下打破的概率为 ，若前两次落下未打破，则第三次落下打 破的概率为 ，则透镜落下三次而未打破的概率为_____. [解析] 设表示透镜第次落下打破，，2，3，设 表示透镜落下三次而未 打破，则 ，故 . ［素养小结］ 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法，即当直接计算 不容易时， 可先求出及或先求出及 ，再利用乘法公式 求解即可. 探究点二 全概率公式的应用 例2（1） 某人出差，委托邻居给家里植物浇一次水.若不浇水，则植物枯萎的 概率为0.8；若浇水，则植物枯萎的概率为0.15.已知邻居记得浇水的概率为 ， 则此人回来后植物没有枯萎的概率为( ) A A.0.785 B.0.845 C.0.765 D.0.215 [解析] 记事件A为“植物没有枯萎”，事件 为“邻居记得浇水”，则 ，， ， ，因此 ．故选A. （2）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校大约有 的学生近视，而该 校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些学生 ... ...
