第五章 5.1.2 第1课时　导数的概念（课件+教案+学案+ 练习四份打包）高中数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 ［学习目标］　1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.3.理解并能正确描述导数在实际问题中的意义. 导语 同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是无限逼近的思想，今天我们用上述思想方法继续研究更一般的问题. 一、导数的概念 问题　瞬时变化率的几何意义是什么？ 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率. 知识梳理 1.平均变化率 对于函数y=f（x），设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0+Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.我们把比值，即=叫做函数y=f（x）从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f（x）在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f（x）在x=x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f'（x0）或y'，即f'（x0）==. 注意点：（1）曲线切线的斜率即函数y=f（x）在x=x0处的导数；（2）瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价. 例1　已知函数y=f（x）=2x2+1. （1）求函数f（x）在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率； （2）求函数f（x）在区间［2，2.01］上的平均变化率； （3）求函数f（x）在x=2处的瞬时变化率. 解　（1）∵Δy=f（x0+Δx）-f（x0） =2（x0+Δx）2+1-2-1=2Δx（2x0+Δx）， ∴函数f（x）在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率为==4x0+2Δx. （2）由（1）可知=4x0+2Δx， 当x0=2，Δx=0.01时， =4×2+2×0.01=8.02， 即函数f（x）在区间［2，2.01］上的平均变化率为8.02. （3）Δy=f（2+Δx）-f（2）=2（2+Δx）2+1-（2×22+1）=2（Δx）2+8Δx. ∴=2Δx+8. 故函数f（x）在x=2处的瞬时变化率为=（2Δx+8）=8. 反思感悟　求瞬时变化率的主要步骤 （1）计算函数值的改变量Δy=f（x2）-f（x1）. （2）计算自变量的改变量Δx=x2-x1. （3）得平均变化率=. （4）得瞬时变化率. 跟踪训练1　已知函数f（x）=-. （1）函数f（x）在区间［1，1.5］，［1，1.1］上的平均变化率各是多少？ （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率是多少？ 解　（1）∵f（x）=-， ∴f（1）=-6，f（1.5）=-4，f（1.1）=-， ∴该函数在区间［1，1.5］上的平均变化率为==4， 在区间［1，1.1］上的平均变化率为==. （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率为 = ===6. 二、导数定义的应用 例2　求函数y=x-在x=1处的导数. 解　∵Δy=（1+Δx）-- =Δx+， ∴==1+， ∴==2. 从而y'|x=1=2. 反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）. （2）求平均变化率=. （3）求极限. 跟踪训练2　（1）y=f（x）=x2在x=1处的导数为（　　） A.2x B.2 C.2+Δx D.1 答案　B 解析　= ==（2+Δx）=2. （2）已知y=f（x）=，且f'（m）=-，则m等于（　　） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 答案　D 解析　因为= ==， 所以f'（m）==-， 所以-=-，m2=4，解得m=±2. 三、导数在实际问题中的意义 例3　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为y=c（x）=-2x2+7x+6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义. 解　设x=1时产量的改变量为Δx， 则== =-2Δx+3， c'（1）==（-2Δx+3）=3， 设x=2时产量的改变量为Δx， 则== =-2Δx-1， c'（2）==（-2Δx-1）=-1. c'（1）的实际意义：当产量为1 00 ... ...