第二章 圆锥曲线 §1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 【学习目标】 1.了解椭圆的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.3.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程. 【课前预习】 ◆ 知识点一 椭圆的定义 1.平面内到两个定点F1,F2的距离之 等于常数( )的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作 ,两个焦点间的距离|F1F2|叫作 . 2.椭圆的定义中提到的“常数”常用 表示,焦距常用 表示.设点M为椭圆上任意一点,则椭圆的定义的数学表达式为 . 3.椭圆定义的三个要点: (1)在平面内,F1,F2是两个 ; (2)|MF1|+|MF2|为 ; (3)定长2a |F1F2|. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到点F1,F2的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到点F1,F2的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆. ( ) (3)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面内到点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. ( ) ◆ 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 (续表) 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点及坐标 a,b,c的关系 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆的焦点只能在坐标轴上. ( ) (2)方程+=1(m>0,n>0)不一定表示椭圆. ( ) (3)两种椭圆的标准方程中,有时a>b>0,有时b>a>0. ( ) ◆ 知识点三 点和椭圆的位置关系 点P(x0,y0)与焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)的关系如下: 点P(x0,y0)在椭圆+=1上的充要条件是 ; 点P(x0,y0)在椭圆+=1内部的充要条件是 ; 点P(x0,y0)在椭圆+=1外部的充要条件是 . 点P(x0,y0)与焦点在y轴上的椭圆+=1(a>b>0)的关系有类似的结论. 【诊断分析】 探索不在椭圆上的点到两焦点的距离之和与2a的大小关系. 【课中探究】 ◆ 探究点一 椭圆的定义 例1 (1)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a2-2a+7(a∈R),则动点P的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.圆 (2)(多选题)下列说法中错误的是 ( ) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),则平面内到F1,F2的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),则平面内到F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 变式 已知动圆P过点M(-2,0),且与圆N:x2+y2-4x-28=0相切,则圆心P的轨迹是什么 [素养小结] 椭圆上一点P与该椭圆的两个焦点F1,F2构成的△F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积的问题,若已知∠F1PF2,则可利用公式S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2.具体求解时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体,利用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|的值,这样可以减少运算量. 拓展 已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于点N,则点N的轨迹为 ( ) A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆 ◆ 探究点二 椭圆的标准方程 例2 (1)已知椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,且椭圆经过点P(2,),同时|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则椭圆的标准方程为 ( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 (2)求满足下列条件的椭圆的标准方程. ①椭圆两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); ②椭圆的焦点在x轴上,且a∶b=2∶1,c=. 变式 求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆经过 ... ...
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