§3 不等式 3.1 不等式的性质 【学习目标】 1.通过具体情境,感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的. 2.掌握不等式的基本性质,运用基本性质比较两个实数的大小,掌握证明不等式的基本方法“作差法”. ◆ 知识点一 不等关系基本事实 关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么ab a-b>0; a=b a-b=0;ab,b>c a>c 不可逆 2 可加性 a>b a+c b+c 可逆 3 可乘性 a>b,c>0 ac bc c的符号 a>b,c<0 ac bc 4 同向可加性 a>b,c>d a+c b+d 不可逆 (续表) 序号 别名 性质内容 注意 5 同向正值 可乘性 a>b>0,c>d>0 ac bd 不可逆 a>b>0,cb>0 > n∈N+,n≥2 特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a>b,c>d,则a-c>b-d. ( ) (2)若a>b,c>d,则ac>bd. ( ) (3)若b>0,且>1,则a>b. ( ) ◆ 探究点一 比较大小 例1 (1)[2024·中央民族大学附中高一月考] 设a=,b=3-,则a b.(填“>”或“<”) (2)已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小. 变式 已知a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a [素养小结] 作差法比较两个实数(或代数式)的大小的一般步骤为作差、变形、判断符号、得到结论.这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其中变形的方法技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.若变形后所得式子的符号不能确定,则需要通过分类讨论来进行大小的比较. ◆ 探究点二 不等式性质的应用 例2 (1)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.a+cbc C.>0 D.(a-b)c2≥0 (2)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:>. 变式 (1)(多选题)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 已知a,b,c,d都是正数,且a>b,c>d,则下列关系式中正确的有 ( ) A.a-cb+d C.< D.< (2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求证:>. [素养小结] 利用不等式的性质进行不等式的证明,常用方法有两种:一是通过作差、变形、判断符号来证明;二是从条件出发,结合不等式的性质,不断变形构造出所证不等式. ◆ 探究点三 利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3 已知-1 > < > > < 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ [解析] (1)取a=3,b=2,c=-1,d=-3,满足a>b,c>d,但a-cb,c>d,但ac0,>1,∴·b>b,即a>b,故(3)正确. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)> [解析] ∵===>=1,b>0,∴a>b. (2)解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1), ∵x2-x+1=+≥>0, ∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x; 当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x; 当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x. 变式 B [解析] a-b=+-,且(+)2=5+2>7,故a>b;a-c=2-且(2 ... ...
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