4.3 一元二次不等式的应用 【学习目标】 1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养. ◆ 知识点 一元二次不等式的应用 利用不等式解决实际问题的一般步骤: (1)选取合适的字母表示题中的未知数; (2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组); (3)求解所列出的不等式(组); (4)结合题目的实际意义确定答案. ◆ 探究点一 一元二次不等式恒成立问题 例1 (1)若对于一切实数x,不等式mx2-mx-1<0恒成立,则m的取值范围是 . (2)若对任意的x∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围. 变式 (1)当10恒成立,则实数m的取值范围为 . (2)已知二次函数y=x2+mx-1,若对任意x∈[m,m+1],都有y<0,则实数m的取值范围是 ( ) A. B. C. D. [素养小结] (1)对于一元二次不等式在R上恒成立的问题,通常转化为不等式组来求解.一般地,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立的条件是一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的条件是若所给不等式未指明为一元二次不等式,还应注意对二次项的系数进行讨论,需验证二次项系数为0时是否满足题意. (2)对于给定区间的恒成立问题,通常转化为最值问题来求解. ◆ 探究点二 一元二次不等式的实际应用 例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按收购金额的10%纳税(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担.当地政府为了鼓励农贸公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(00时,y在[1,3]上随自变量x的增大而增大,所以ymax=7m-6<0,所以00, 所以当x∈[1,3]时,m<恒成立. 易知函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可. 变式 (1)[-4,+∞) (2)D [解析] (1)令y=x2+mx+4,易知函数y=x2+mx+4的图象的对称轴为直线x=-.当-≤1,即m≥-2时,1+m+4≥0,解得m≥-5,所以m≥-2.当1<-<2,即-4
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