2.2 函数的表示法 【学习目标】 1.掌握函数常用的三种表示法. 2.能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,了解函数不同表示法的优缺点. 3.理解分段函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题. 4.培养数形结合与分类讨论的数学思想,激发学习热情. ◆ 知识点 函数的表示法 函数的 表示 方法 解析法 一个函数的对应关系可以用 的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法 列表法 用 的形式表示两个变量之间的函数关系的方法,称为列表法 图象法 用 把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示. ( ) (2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. ( ) (3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. ( ) ◆ 探究点一 函数的解析式 例1 根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1; (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x; (3)已知f(x)满足f()=x-1; (4)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 变式 (1)已知f(-1)=2x-8+11,则函数f(x)的解析式为 . (2)(多选题)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=81x+80,则f(x)的解析式可能为 ( ) A.f(x)=9x+8 B.f(x)=-9x-8 C.f(x)=9x+10 D.f(x)=-9x-10 [素养小结] 求解函数解析式的几种常用方法: (1)待定系数法,如果已知函数的类型,通常用待定系数法; (2)换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; (3)消参法,若已知抽象函数f(x)的表达式,则可用解方程组消参的方法求解f(x). 拓展 [2024·四川自贡高一期中] 已知f(x)+2f(-x)=9x+2,则f(x)的解析式为 . ◆ 探究点二 作函数图象 例2 作出下列函数的图象. (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 变式 已知函数f(x)= (1)求f,f的值; (2)在给出的平面直角坐标系(如图)中,画出f(x)的图象; (3)由(2)中作出的图象指出函数f(x)的值域. [素养小结] 作函数图象时通常需通过列表、描点、连线三个步骤来完成,具体作图时需注意四点:(1)先确定函数的定义域,要在定义域内作图;(2)图象是实线还是虚线,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)作分段函数的图象时,应根据不同取值范围上的解析式分别作出;(4)函数图象可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. ◆ 探究点三 列表法表示函数 例3 (1)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,则 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 ①f[g(1)]= ; ②若g[f(x)]=2,则x= . (2)已知函数f(x)由下表给出, x x<1921 1921≤ x<1949 1949≤ x<2021 2021≤ x<2049 x≥2049 f(x) 1 2 3 4 5 则f[1949f(2022)]的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [素养小结] 用列表法表示函数时不用计算函数值,看表就知道函数值,列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.不是所有函数都可以用列表法表示,如函数f(x)=x. ◆ 探究点四 求分段函数的解析式 [提问] 如何求分段函数的解析式 例4 某市出租汽车收费标准如下:路程在3 km以内(含3 km)按起步价11元收费,超过3 km的路程按2.4元/km收费. (1)试写出收费额y(单位:元)关于路程x(单位:km)的函数解析式; (2)若王先生某次乘车付车费35元,求此次出租车行驶的路程. 变式 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 . [素养小结] 求实际问题中的分段函数,应结合实际问题的意义进行分段,求出自变量在各个取值范围内的对应关系(解析式或图象)即可. 2.2 函数的表示法 【课前预习】 知识点 自变量 表格 图象 诊断分析 (1)× (2)× (3)× [解析] (1)有些函数是不能画出图象的,如f(x) ... ...
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