第3课时 指数函数图象和性质的综合应用 ◆ 知识点一 y=ax(a>0,且a≠1)的图象与 y=的图象之间的关系 函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=的图象关于y轴对称. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=3x,x∈[-1,1]的值域与函数y=,x∈[-1,1]的值域相同. ( ) (2)函数y=a|x|(a>0且a≠1),x∈[-k,k](k>0)的图象关于y轴对称. ( ) ◆ 知识点二 与指数函数有关的复合函数问题 1.定义域 函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域就是函数f(x)的定义域. 2.值域 求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,应先求u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域. 3.单调性 将函数y=af(x)(a>0,且a≠1)视为由u=f(x)与y=au复合而成,利用复合函数单调性的判定方法可判断函数y=af(x)的单调性.类似地,可判断函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的单调性. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=2f(x)与函数y=f(x)有相同的定义域. ( ) (2)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数y=f(x)的单调性相同. ( ) ◆ 探究点一 与指数函数有关的定义域与值域问题 例1 求下列函数的定义域和值域: (1)y=;(2)y=;(3)y=; (4)y=4x+2x+1+1. 变式 (1)函数y=的定义域和值域分别为 ( ) A.(0,2],(0,1] B.(-∞,2],[0,1) C.(0,2],[0,1) D.(-∞,2],(0,1] (2)函数y=(-3≤x≤1)的值域是 . [素养小结] 对于形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的值域的求解,可令t=ax,先求出t的取值范围,再借助函数y=f(t)的单调性确定整个函数的值域. 拓展 已知函数y=(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a的取值范围. ◆ 探究点二 与指数函数有关的单调性问题 例2 判断函数y=的单调性. 变式 (1)已知函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(4,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,2) D.(2,+∞) (2)若函数f(x)=在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是 ( ) A.a≤-4 B.a≤-2 C.a≥-2 D.a>-4 [素养小结] 复合函数的单调性一般是看包含的两个函数的单调性.若两个函数均为增函数或均为减函数,则复合函数为增函数;若两个函数一增一减,则复合函数为减函数.简记为“同增异减”. 拓展 [2024·江西师大附中高一期中] 已知函数f(x)=ax2+x+1(a≠0). (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-3,b),求a,b的值; (2)已知g(x)=4x+1-2x+2,当x∈[-1,1]时,f(2x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围. 第3课时 指数函数图象和性质的综合应用 【课前预习】 知识点一 诊断分析 (1)√ (2)√ [解析] (1)因为函数y=3x,x∈[-1,1]与函数y=,x∈[-1,1]的定义域相同,且图象关于y轴对称,所以值域相同. (2)设y=f(x)=a|x|,x∈[-k,k](a>0且a≠1,k>0),因为f(-x)=a|-x|=a|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,图象关于y轴对称. 知识点二 诊断分析 (1)√ (2)× [解析] (2)当a>1时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当0
0,∴函数y=的值域为(0,16]. (4)易知y=4x+2x+1+1的定义域为R. ∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2×2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1,故函数y=4x+2x+1+1的值域为(1,+∞). 变式 (1)B (2) [解析] (1)由1-6x-2≥0,得x-2≤0,即x≤2,故函数的定义域为(-∞,2].因为0<6x-2≤1,所以0≤1-6x-2<1,即0≤<1,故函数的值域为[0,1).故选B. (2)设t=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9, 则y=.∵-3≤x≤1,∴当x=- ... ... 
