4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(一) 一、选择题 1.已知异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),则a,b的夹角是 ( ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中,已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则x轴与平面α夹角的大小为 ( ) A. B. C. D. 3.在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,N是AC的中点,则异面直线A1M与BN的夹角的正弦值为 ( ) A. B.1 C. D. 4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=3,点F在棱C1D1上,且D1F=1,则异面直线CD与BF夹角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 5.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF的夹角的正弦值为 ( ) A. B. C.- D.- 6.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,SA⊥平面ABCD,SA=AB,E是BC的中点,F是棱SD上一点(不含端点),满足=λ.若异面直线AE与CF的夹角的余弦值为,则λ的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.(多选题)[2024·安徽黄山高二期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,∠BAC=90°,D,E分别为A1C1,A1B的中点,则下列结论正确的是 ( ) A.DE∥B1C B.直线DE与平面A1BC的夹角的正弦值为 C.平面A1BC与平面ABC的夹角的余弦值为 D.直线DE与AA1的夹角为 8.(多选题)如图所示,设E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD上的两点,且AB=2,EF=1,则下列说法正确的是 ( ) A.三棱锥D1-B1EF的体积为定值 B.异面直线B1D1与EF的夹角为45° C.B1D1⊥平面B1EF D.直线B1D1与平面B1EF的夹角为45° 二、填空题 9.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则直线AC1与侧面ABB1A1的夹角为 . 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1,则AB1与C1B夹角的余弦值为 . 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为 . 12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,AB=3,P为线段BD上的动点,当直线AP与平面AB1D1夹角的正弦值取最大值时,= . 三、解答题 13.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PB⊥平面ABCD,E为线段PB的中点. (1)证明:AC⊥PD; (2)若PB=2AB=2,求直线DE与平面PCD夹角的正弦值. 14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN∥平面BDE. (2)若点H在棱PA上,且直线NH与直线BE的夹角的余弦值为,求线段AH的长. 15.如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面圆的圆心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周),若AM⊥MP,则MP与底面夹角的正弦值的取值范围是 . 16.在如图所示的四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,E为AD的中点,过BE的平面与PD,PC分别交于点G,F. (1)求证:GF⊥PA. (2)若PA=PD=,则棱PD上是否存在点G,使得直线PB与平面BEGF夹角的正弦值为 若存在,请确定点G的位置;若不存在,请说明理由. 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系(一) 1.C [解析] ∵异面直线a,b的一个方向向量分别是m=(2,1,-3),n=(1,-3,2),∴cos====-,∵异面直线a,b的夹角的取值范围为,∴a,b的夹角是,故选C. 2.C [解析] 依题意知x轴的一个方向向量为m=(1,0,0),设x轴与平面α的夹角为θ,则sin θ===,因为θ∈,所以θ=,故选C. 3.D [解析] 设直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,以A为原点,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(0,0,2),M(,1,1),B(,1,0),N(0,1,0), 则=(,1,-1),=(-,0,0).设异面直线A1M与BN的夹角为θ, ... ...
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