单元素养测评卷(三) 第三章 (时间:120分钟 分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·广东梅州高二期末] 在空间直角坐标系中,已知点A(0,1,2),B(1,-2,-1),=2,则点P的坐标是( ) A.(2,-6,-6) B.(2,-5,-4) C.(2,-7,-8) D.(3,-8,-7) 2.平面α的一个法向量为(1,-2,-1),平面β的一个法向量为(-1,2,k),α∥β,则k= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ= ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1, 以D为原点, {,,}为标准正交基, 建立空间直角坐标系D-xyz, 则平面AB1C的法向量的坐标可以是 ( ) A.(1,1,1) B.(-1,1,1) C.(1,-1,1) D.(1,1,-1) 5.已知几何体ABCD-EFGH是棱长为4的正方体,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,P(3,1,2),则P到AB的距离为 ( ) A. B. C. D.2 6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,且BC=AB=AA1,E,F,G分别为AB,CC1,A1C1的中点,则EF与平面GB1F夹角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为面对角线BD的中点. 设点P在棱CC1上,直线OP与平面A1BD的夹角为α,则sin α的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 8.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,O为BC的中点,M是棱B1C1上一动点,过O作ON⊥AM于点N,则线段MN长度的最小值为 ( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,BC的中点,G,H分别在棱CC1,A1D1上,且满足=2,=2,设=a,=b,=c,则下列结论正确的是 ( ) A.=-a+b+c B.=a-b-c C.=a-b+c D.=a+b+c 10.已知空间向量a=(-3,-1,2),b=(3,3,1),则下列说法正确的是 ( ) A.(3a+2b)∥a B.a⊥(5a+7b) C.|a|= D.|b|= 11.[2024·云南昆明高二期末] 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,若PA=AB=AD=2,E,F分别为PD,PB的中点,则 ( ) A.EF⊥平面PAC B.异面直线AB,CE夹角的余弦值为 C.点A到平面PCD的距离为 D.直线AC与平面EFC夹角的正弦值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知平面α的一个法向量为n=(1,2,-2),直线l的一个方向向量为u=(-2,m,4),且l⊥α,则实数m= . 13.[2024·广西南宁高二期末] 已知空间向量a=(1,0,-1),b=(2,-1,1),则向量b在向量a方向上的投影向量的坐标是 . 14.[2024·江苏盐城高二期末] 已知=(1,0,0),=(1,1,0),=(1,1,1),点M在直线OC上运动,则cos<,>的最大值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)求cos
; (2)若ka+b与ka-2b垂直,求实数k的值. 16.(15分)[2024·江苏盐城高二期末] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,AB⊥AC. (1)求直线AB1与A1C夹角的余弦值; (2)设点D∈平面ABC,C1D⊥平面A1BC,求线段C1D的长度. 17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形且AD=2AB=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD是正三角形,E,F分别是AD,PB的中点. (1)求证:AF∥平面PCE; (2)求直线CF与平面PCE夹角的正弦值; (3)求点F到平面PCE的距离. 18.(17分)[2024·辽宁沈阳高二期末] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱AA1,CC1上,且AE=2EA1,2CF=FC1. (1)求证:B,E,D1,F四点共面; (2)若AB=2,AD=2,AA1=3,求平面DEF与平面BDF夹角的 ... ... 
