10.2 事件的相互独立性 【学习目标】 1.结合具体实例,了解两个随机事件独立性的含义. 2.在熟悉的情境中,能够将古典概型与事件独立性相结合,计算简单问题的概率. ◆ 知识点一 两个事件相互独立 1.定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 2.事件A与事件B相互独立,即事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率 . 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立. ( ) (2)运动员甲射击一次,事件“射中9环”与“射中8环”相互独立. ( ) (3)若P(E)=0.3,P(F)=0.4,P(EF)=0.12,则事件E与事件F相互独立. ( ) 2.篮球比赛中罚球两次时,事件A表示“第一球罚中”,事件B表示“第二球罚中”,试问事件A与事件B是否相互独立 ◆ 知识点二 事件相互独立的性质 1.如果事件A与B相互独立,那么 , , 也都相互独立. 2.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 . 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若事件A,B相互独立,则P( )=P()·P(). ( ) (2)若事件A与B相互独立,则B与相互独立. ( ) (3)对于两个相互独立的事件A与B,若P(A)=0.3,P(B)=0.4,则P(A)=0.18. ( ) ◆ 探究点一 事件相互独立的判断 例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件: (1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”; (3)掷一枚质地均匀的骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 变式 (1)一袋中装有5个白球、3个黄球,有放回地每次随机摸出1个球,若A1=“第一次摸到的是白球”,A2=“第二次摸到的是白球”,则事件A1与是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 (2)(多选题) 设A,B为两个随机事件,若P(A)=,P(B)=,则下列说法中正确的是 ( ) A.若A B,则P(A∪B)= B.若P(A∩B)=,则A,B相互独立 C.若A与B相互独立,则P(A∪B)= D.若A与B相互独立,则P(∩)= [素养小结] 判断两事件是否具有独立性的方法 (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 需要注意的是,不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件的概念混淆. ◆ 探究点二 相互独立事件概率的计算 例2 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛,甲投篮一次命中的概率为,乙投篮一次命中的概率为,在每次投篮中,甲和乙投篮是否命中相互没有影响. (1)甲、乙各投篮一次,求恰好有1人命中的概率; (2)甲、乙各投篮一次,求至少有1人命中的概率. 变式1 甲 乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和.求: (1)两人都译出的概率; (2)两人中至少有一人译出的概率; (3)两人中至多有一人译出的概率. 变式2 现有甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用7局4胜制,每局11分制,每赢一球得1分,选手只要得到至少11分,并且领先对方至少2分(包括2分),即赢得该局比赛.在一局比赛中,每人只发2个球就要交换发球权,如果双方比分为10∶10后,每人发一个球就要交换发球权. (1)若在本场比赛中,前三局甲赢两局,乙赢一局,在后续比赛中,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且每局比赛的结果相互独立,求甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率; (2)若某局比赛中双方比分为8∶8,且接下来两球由甲发球,若甲发球时甲得分的概率为,乙发球时乙得分的概率为,各球的结果相 ... ...
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