2024-2025学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四组数据中，方差最小的是( ) A. ，，，，，，， B. ，，，，，，， C. ，，，，，，， D. ，，，，，，， 2.已知复数满足，则( ) A. B. C. D. 3.直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 4.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 7.已知点，，若圆上任意一点都满足，则实数( ) A. B. C. D. 8.抛物线：的准线为，为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则( ) A. B. C. 和是互斥事件 D. 和是相互独立事件 10.在矩形中，，若，则( ) A. B. C. 以为直径的圆与直线相切 D. 直线与的交点在矩形的外接圆上 11.已知椭圆，直线与交于，两点，点为上异于，的动点，则( ) A. 当时， B. C. 存在点，使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线：与：垂直，则实数 _____． 13.已知，则 _____． 14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点已知图中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且则当反射光线经过点时， _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，，求的面积． 16.本小题分 已知点在抛物线：上，直线经过点，且在轴上的截距为． 求的值和直线的方程； 记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程． 17.本小题分 在四面体中，，分别为，的中点． 证明：平面； 若平面，，，四面体的体积为，且，求与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知圆：，圆：，过点作圆的切线，切线的长为． 求圆的方程； 直线经过点，且与圆交于，两点，， 求的方程和的值； 若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值． 19.本小题分 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，，离心率为． 求的方程； 直线平行于直线，且与交于，两点， ，是直线上的两点，满足四边形为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程； 当直线，斜率存在时，分别将其记为，，证明：为定值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：因为， 所以由正弦定理得：， 即， 又因为，所以， 又因为，所以； 由，，结合余弦定理，得， 所以，即，所以， 所以的面积． 16.解：因为点在抛物线：上， 所以，解得：， 所以抛物线的方程为：， 因为直线在轴上的截距为， 所以设：，又因为直线经过点， 所以，解得：， 所以直线的方程为； 设，， 联立，消去可得：， 解得：，， 则，所以， 设经过，，三点的圆的方程为， 则有，解得：， 所以圆方程为． 17.解：证明：因为，是，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 设点到平面的距离为， 又因为， 所以， 因为，所以与平面所成角，即为与平面所成角，设为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 即，因此． 18.解：过点作圆的切线，设切点为，连接，， 因为，所以， 所以圆：； 显然直线的斜率存在 ... ...
