2024-2025学年北京市东城区景山学校高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若实数，满足，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 3.已知命题：，，则为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是( ) A. B. C. D. 5.已知集合，集合，若，则( ) A. B. C. D. 6.已知函数若，则实数( ) A. B. C. D. 7.若，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是( ) A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称 C. 在单调递增 D. 有最小值 9.已知函数的定义域为，满足，且当时，若，则的最大值是( ) A. B. C. D. 10.已知若，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.函数的定义域是_____． 12.已知集合有且仅有个子集，则实数的值为_____． 13.已知，且，则的最小值为 ． 14.已知奇函数定义域为，当时，，则 _____若，则实数的取值范围是_____． 15.已知函数给出下列四个结论： 当时，； 若存在最小值，则的取值范围为； 若存在零点，则的取值范围为； 若是减函数，则的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知集合． Ⅰ求，； Ⅱ记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知函数． 若，求不等式的解集； 已知，且在上恒成立，求的取值范围； 18.本小题分 已知函数． Ⅰ判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； Ⅱ设，若，，使得，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知定义在上的函数满足： 对任意实数，，都有；对任意，． Ⅰ求； Ⅱ判断并证明函数的奇偶性； Ⅲ若，直接写出的所有零点不需要证明． 20.本小题分 已知关于的函数． 当时，求在上的最小值； 如果函数同时满足： 函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； 在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”． 若关于的函数是“闭函数”，求实数的取值范围； 判断中是否为“闭函数”？若是，求出，的值或关系式；若不是，请说明理由． 21.本小题分 设为不小于的正整数，集合，，，，，，对于集合中的任意元素， 记 Ⅰ当时，若，请写出满足的所有元素 Ⅱ设，且，求的最大值和最小值； Ⅲ设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，，有成立，求集合中元素个数的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.或 13. 14. 15. 16.解：Ⅰ，解得或， 或， 又， 或， ， ； Ⅱ由，得， ， ，或， ， ， 解得或， 实数的取值范围是或． 17.解：当时，， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为：或； 因为， 则二次函数图象的开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递增，则， 又在上恒成立，转化为， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 18.解：Ⅰ在区间上的单调递增． 证明如下：，，且， 则， ， 在区间上单调递增． Ⅱ，由Ⅰ可得在区间上单调递增， ，，可得． 函数在上单调递减，． 若，，使得， 则， ， 解得， 实数的取值范围是． 19.解：Ⅰ令，，则， 可得，因为对任意，， 所以． Ⅱ是偶函数，证明如下： 令，为任意实数，则， 即，所以是偶函数． Ⅲ若，令，则， 即， 则，， 所以是以为周期的周期函数， 又， 所以的所有零点为，． 20.解：函数，其对称轴方程为， 当时，在上单调递增，其最小值为； 当时，在上的最小值为； 函数在上的最小值． 在递增， 由闭函数的定义知，该函数在 ... ...
