8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【学习目标】 1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式. 2.能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积. 3.能用公式解决简单的实际问题. ◆ 知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.表面积是几何体 的面积,它表示几何体 的大小. 2.多面体的表面积就是围成多面体 的和. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的和. 3.几种特殊多面体的侧面积公式 S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高); S正棱锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高); S正棱台侧=(c+c')h(c'为上底面周长,c为下底面周长,h为斜高). 4.几种特殊多面体的表面积公式 S正四面体= (a为棱长); S正方体= (a为棱长); S长方体= (a,b,c分别为长、宽、高). 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和. ( ) (2)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等. ( ) (3)如果一个正方体的每条棱都增加1 cm,它的表面积扩大为原来的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为4 cm. ( ) 2.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的两底面面积之和为 ,侧面积为 ,表面积为 . ◆ 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 1.棱柱的体积公式:V棱柱= (S为棱柱的底面面积,h为棱柱的高). 2.棱锥的体积公式:V棱锥= (S为棱锥的底面面积,h为棱锥的高). 3.棱台的体积公式:V棱台= (S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高). 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. ( ) (2)锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一. ( ) (3)两个正方体的体积之比为1∶27,则这两个正方体的棱长之比为1∶3. ( ) 2.若某正棱台的底面是正方形,上底面边长为4,下底面边长为10,高为4,则此正棱台的体积为 . 3.根据棱柱、棱锥、棱台之间的关系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗 ◆ 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 (1)若正三棱锥的底面边长为a,三条侧棱两两垂直,则它的侧面积为 . (2)[2024·无锡高一期中] 若正三棱台ABC-A1B1C1的上底面边长为1,下底面边长为2,侧棱长为1,则它的表面积为 . 变式 已知正四棱锥的底面边长是2,高为,则这个正四棱锥的侧面积是 . [素养小结] 求解正棱台的表面积时注意棱台的基本量:底面边长、高、斜高、侧棱长,并注意两个直角梯形的应用. (1)高,侧棱,上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形. (2)高,斜高,上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所成的直角梯形. ◆ 探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 (1)已知正四棱台上、下底面边长分别为2和8,侧面梯形的高为5,则该正四棱台的体积为 . (2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为 . 变式 在棱长为2的正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥P-MBD的体积为 . [素养小结] 求几何体体积时需注意的问题:对棱柱、棱锥、棱台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高(等积转化法),要充分利用截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.求台体的体积时,也可以将台体转化为锥体计算. ◆ 探究点三 简单组合体的表面积和体积 例3 如图,某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体ABCD-A1B1C1D1,上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥P-A1B1C1D1,求: (1)该几何体的体积; (2)该几何体的表面积. 变式 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
