第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 【学习目标】 1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认识复数. 2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示,掌握复数的分类,理解两个复数相等的充要条件. ◆ 知识点一 复数的有关概念 1.复数 (1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作 ,a叫作复数的 ,b叫作复数的 . (2)表示方法:复数通常用 表示,即 . 2.复数集 (1)定义: 所构成的集合叫作复数集. (2)表示方法:通常用 表示. 3.复数相等的充要条件 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当 . 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数a+bi的实部是a,虚部是b. ( ) (2)任何两个复数都不能比较大小. ( ) (3)3+i>2+i. ( ) (4)方程x2+3=0无解. ( ) 2.若复数z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R)满足z1=z2,则a+b的值为多少 ◆ 知识点二 复数的分类 1.复数 z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 复数 2.用图示法表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系,如图所示. 【诊断分析】 (1)若复数z=a+bi(a,b∈R),且z=0,则a+b的值为 . (2)用“ ”或“ ”填空:N* N Z Q R C. ◆ 探究点一 复数的概念 例1 (1)下列说法中正确的是 ( ) A.5+i>4+i B.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数 C.实数集是复数集的真子集 D.若z2=-1,则z=i (2)写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4,2-3i,-+i,5+i,6i. 变式 (多选题)已知a,b∈R,i为虚数单位,下列说法错误的是 ( ) A.若a=0,则a+bi为纯虚数 B.若z=3-2i,则z的虚部为2 C.若b=0,则a+bi为实数 D.i2=-1 [素养小结] (1)对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大组成部分. ◆ 探究点二 复数的分类应用 [探索] 当a,b满足什么条件时,复数z=a+bi(a,b∈R)分别是实数、虚数、纯虚数 例2 已知m∈R,复数z=+(m2-3m-18)i. (1)当m满足什么条件时,复数z为实数 (2)当m满足什么条件时,复数z为虚数 (3)当m满足什么条件时,复数z为纯虚数 变式 (1)当实数m满足什么条件时,复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是实数 虚数 (2)已知复数z=(m2-2m-3)+(m-3)i(m∈R),当实数m取何值时,复数z表示纯虚数 并写出此时z的虚部. [素养小结] 复数分类问题的求解方法与步骤: (1)化标准式:先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,从而确定实部与虚部. (2)定条件求解:根据所给条件列出实部和虚部满足的方程(不等式),求解即可. 特别关注:复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0. ◆ 探究点三 复数的相等及其应用 例3 (1)已知x,y是实数,且满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,则x= ,y= . (2)已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,则实数m的取值集合为 . 变式 (1)已知x,y均是实数,且满足(2x-2)+i=-y-(5-y)i,求x与y的值. (2)已知a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R),求实数a的值. (3)已知(m2-1)+(m2-2m)i>1,求实数m的值. [素养小结] (1)根据复数相等的充要条件,可将复数问题转化为实数问题,这是复数问题实数化思想的体现. (2)如果两个复数都是实数,那么可以比较大小,否则是不能比较大小的. 第七章 复数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 【课前预习】 知识点一 1.(1)虚数单位 实部 虚部 (2)字母z z=a+bi(a,b∈R) 2.(1)全体复数 (2)C 3.a=c且b=d 诊断分析 1.(1)× (2)× ( ... ...
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