人教B版高中数学课后精练 3.2　函数与方程、不等式之间的关系 同步练习（2课时）（原卷版+解析版）

3．2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 (分值：100分) 45 必备知识基础练 1．(5分)函数y＝x2－4的图象与x轴的交点坐标及函数的零点分别是(　　) A．(0，±2)；±2 B．(±2，0)；±2 C．(0，－2)；－2 D．(－2，0)；2 解析：令x2－4＝0，得x＝±2，故交点坐标为(2，0)，(－2，0)，函数的零点为2，－2. 答案：B 2．(5分)(易错题)[2024·长春二中高一联考]若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点(　　) A．只有一个 B．只有两个 C．至少有两个 D．无法判断 解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.故函数f(x)只有两个零点－2和2. 答案：B 规律总结：求函数零点的常用方法有：(1)代数法：通过求解方程f(x)＝0的实数根，即得函数f(x)的零点；(2)图象法：通过函数图象，利用数形结合求零点(函数图象与x轴交点的横坐标). 3．(5分)如果二次函数y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．[－2，6] C．(－∞，－2)∪(6，＋∞) D．{－2，6} 解析：由题意得Δ＝m2－4(m＋3)＞0， 即m2－4m－12＞0，∴m＞6或m＜－2. 答案：C 4．(5分)[2024·西宁二中高一联考]已知二次函数y＝x2＋bx＋c的零点为－1和2，则关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为_____． 解析：二次函数y＝x2＋bx＋c的零点为－1和2， 所以－1和2是方程x2＋bx＋c＝0的实数根， 由根与系数的关系知， 解得b＝－1，c＝－2， 所以不等式x2＋bx＋c>0可化为x2－x－2>0， 解得x<－1或x>2， 所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．(5分)[2024·桂林中学高一检测]若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．(－5，－4) B．(－∞，－4) C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4] 解析：由函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的两个零点都大于2，得 解得－50的解集是(－1，3). (1)求实数a，b的值； (2)解不等式4ax2－4x－b<0. 解析：(1)由题意得a<0，且对应方程(ax－1)(x＋b)＝0的解为－1和3， 所以＝－1，－b＝3，所以a＝－1，b＝－3. (2)不等式4ax2－4x－b<0，即－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－. 所以不等式的解集为∪. 关键能力综合练 7．(6分)(多选)若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为(　　) A．－2 B．0 C． D．－ 解析：根据题意，函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2， 即方程(ax－1)(x＋2)＝0有唯一的根x＝－2， 若a＝0，方程为－(x＋2)＝0，符合题意， 若a≠0，则ax－1＝0的解也是x＝－2，即－2a－1＝0，必有a＝－， 故a＝0或－.故选BD. 答案：BD 8．(6分)(多选)[2024·乌鲁木齐一中高一月考]已知狄利克雷函数的解析式为D(x)＝，则(　　) A．D(x)≥0 B．D(x)≤1 C．y＝D(x)－x3只有1个零点 D．y＝D(x)＋－有2个零点 解析：易知D(x)的值域为{0，1}，所以A，B正确；若x是无理数，则D(x)－x3＝0可化为0－x3＝0，解得x＝0，不合题意，若x为有理数，则D(x)－x3＝0可化为1－x3＝0，解得x＝1，所以y＝D(x)－x3只有1个零点，所以C正确；若x是有理数，D(x)＋－＝0可化为1＋－＝0，解得x＝3＋2，不合题意，若x是无理数，D(x)＋－＝0可化为0＋－＝0，解得x＝2，不合题意，所以y＝D(x)＋－没有零点，所以D错误．故选ABC. 答案：ABC 9．(5分)若关于x的方程x2－tx＋1＝0有两个不相等的实根x1，x2，且满足0