人教B版高中数学课后精练 2.2.4 均值不等式及其应用 同步练习（2课时）（原卷版+解析版）

2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 　　(分值：100分) 27 必备知识基础练 1．(5分)下列不等式中正确的是(　　) A．a2＋b2≥4ab B．a＋≥4 C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4 2．(5分)函数y＝3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 3．(5分)[2024·西安铁一中高一月考]下列函数中，最小值是2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝＋ C．y＝x2＋ D．y＝x3＋ 4．(5分)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为_____. 5．(10分)[2024·合肥六中高一月考]设x>0，y>0，x＋y＝2xy，求x＋y的最小值． 6．(10分)[2024·中山一中高一月考]已知a>0，b>0，且a＋b＋ab＝3. (1)求ab的取值范围； (2)求a＋b的取值范围． 关键能力综合练 7.(6分)(多选)已知正数a，b满足a＋b＝4，ab的最大值为t，不等式x2＋3x－t<0的解集为M，则下列结论正确的是(　　) A．t＝2 B．t＝4 C．M＝{x|－40，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．0<≤ B．<2 C．＋≥1 D．≤ 9．(6分)(多选)以下结论中正确的是(　　) A．y＝x＋的最小值为2 B．当a>0，b>0时，＋＋2≥4 C．y＝x，的最大值为 D．当且仅当a，b均为正数时，＋≥2恒成立 10．(5分)已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y>m恒成立，则实数m的取值范围是_____． 11．(10分)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值． 12．(10分)设x>－1，求的最小值． 核心素养升级练 13.(5分)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是_____． 14．(12分)已知a，b，c>0，abc＝，求证：＋＋≥1.2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 　　(分值：100分) 27 必备知识基础练 1．(5分)下列不等式中正确的是(　　) A．a2＋b2≥4ab B．a＋≥4 C．a2＋2＋≥4 D．a2＋≥4 解析：A.a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，所以该选项错误； B．a＋，当a取负数时，显然a＋<0，所以a＋≥4错误，所以该选项错误； C．a2＋2＋≥2 ＝2，当且仅当a2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a2＋2＋>2，如a＝0时，a2＋2＋＝<4，所以该选项错误； D．a2＋≥2 ＝4，当且仅当a＝±时取等号，所以该选项正确． 答案：D 2．(5分)函数y＝3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：y＝3＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立．故选D. 答案：D 方法总结：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件，尤其要注意求最值时对取等条件的验证． 3．(5分)[2024·西安铁一中高一月考]下列函数中，最小值是2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝＋ C．y＝x2＋ D．y＝x3＋ 解析：A：当x取负数，显然函数值小于2，不符合；B：由基本不等式得＋≥2＝2(当且仅当x＝2时取等号)，符合；C：当x＝0时，y＝<2，不符合；D：同A，当x取负数，显然函数值小于2，不符合．故选B. 答案：B 方法总结：求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得． 4．(5分)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为_____. 解析：因为x>0，y>0，2x＋3y＝6， 所以xy＝(2x·3y)≤·()2 ＝·()2＝. 当且仅当即x＝，y＝1时，xy取到最大值. 答案： 5．(10分)[2024·合肥六中高一月考]设x>0，y>0，x＋y＝2xy，求x＋y的最小值． 解析：∵x>0，y>0，∴xy≤2， 即2xy≤， 又x＋y＝2xy， ∴x＋y≤， ∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号， 故x＋y的最小值为2. 答案：2 6．(10分)[2024·中山一中高一月考]已 ... ...