4.6&4.7相似多边形和图形的位似八大题型（一课一讲）2024-2025九年级上册数学同步讲练【浙教版】(原卷+解析版)

中小学教育资源及组卷应用平台 4.6&4.7相似多边形和图形的位似七大题型（一课一讲） 【浙教版】 题型一：相似多边形的性质 【经典例题1】如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求． 【答案】 【分析】此题主要考查相似多边形相似比的性质，首先根据相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， 又∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ． 【变式训练1-1】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 【答案】运动或能使矩形与矩形相似，证明见解析 【分析】设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得：或． 当时，， ∵， 又∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，进行分类讨论是解题的关键． 【变式训练1-2】如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？ 【答案】四边形四边形，见解析 【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案． 【详解】解：四边形四边形，理由如下： 证明：、是、的中点， ，， ， 同理， ， ， ，， 同理， ，， 四边形四边形． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键． 【变式训练1-3】如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 【变式训练1-4】正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积． 【答案】16 【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形为中正方形， ∴，， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴， 四边形是矩形，， ， ， 矩形是正方形， 四边形是正方形， 正方形正方形， ∵AE：EC=2：1， ∴AE：AC=2：3， ， ， ∴正方形AFEG的面积为16． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键． 【变式训练1-5】如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长． 【答案】 【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1， ∵矩形CEFD与矩形ABEF相似， ∴或，代入数据， ∴或， 解得：，(舍去)，或不存在， ∴BE的长为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关 ... ...