1.3.2 空间向量运算的坐标表示 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 一、选择题 1.在空间直角坐标系中,向量a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),则向量a+b= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,1,10) B.(-4,7,0) C.(4,-7,0) D.(-4,-12,25) 2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||= (　 ) A.18 B.12 C.2 D.3 3.[2024·湛江一中高二期中] 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为 (　 ) A.0 B.9 C.5 D.3 4.已知=(2,-3,2),C,D(x,y,0),且∥,则x,y的值分别为 (　 ) A.3,1 B.4,- C.3,-1 D.1,1 5.[2024·安徽桐城中学高二质检] 定义a b=|a|2-a·b,若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则a b的取值范围是 (　 ) A.[6,12] B.[0,6] C.[-1,5] D.[0,12] 6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM (　 ) A.与AC,MN都垂直 B.垂直于AC,但不垂直于MN C.垂直于MN,但不垂直于AC D.与AC,MN都不垂直 7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=CC1=2,M是A1B1的中点,以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若⊥,则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 8.(多选题)已知向量a=(1,-2,2),b=(2,-3,2),则下列结论正确的是 (　 ) A.a+b=(3,-5,4) B.a·b=12 C.|a-2b|=6 D.a,b不平行 9.(多选题)[2024·武汉十一中高二月考] 已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是 (　 ) A.·=-2 B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为 C.点O到直线BC的距离为 D.O,A,B,C四点共面 二、填空题 10.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|2a+b|=　　　　. 11.[2024·湖北宜荆荆随高二联考] 已知空间向量a=(0,1,2),b=(-1,2,2),则向量a在向量b上的投影向量是　　　　　　. 12.[2024·皖中名校联盟高二联考] 已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(λ+1,4,3),若,的夹角为锐角,则λ的取值范围为　　　　　　. 三、解答题 13.已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2). (1)当|c|=2时,若向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值; (2)当x=-时,求证:向量c与向量a,b共面. 14.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是A1A,A1B1的中点. (1)求线段BM的长; (2)求cos<,>的值; (3)求证:A1B⊥C1N. 15.[2024·常德一中高二月考] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点M为CC1的中点,点P为底面A1B1C1D1上的动点,且满足BP⊥AM,则点P的轨迹长度为　　　　　　. 16.在①(+)⊥(-),②||=,③0<1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答. 问题:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1,中,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0,0,2),E为棱D1C1上的动点,F为棱B1C1上的动点,　　　　,则是否存在点E,F,使得·=0 若存在,求出·的值;若不存在,请说明理由. 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1.A　[解析] ∵a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),∴a+b=(0,1,10).故选A. 2.D　[解析] ||==3.故选D. 3.C　[解析] 由向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),可得a与b不共线,又因为a,b,c三个向量不能构成空间的一个基底,所以存在实数x,y,使得c=xa+yb,即解得所以实数λ的值为5.故选C. 4.C　[解析] 因为C,D(x,y,0),所以=,又∥,所以==,解得x=3,y=-1,故选C. 5.A　[解析] 由题意知|a|==3,|b|=1.设 a,b =θ,则a b=|a|2-a·b=|a|2-|a|·|b|cos θ=9-3cos θ,又θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1],∴a b的取值范围是[6,12].故选A. 6.A　[解析] 以D为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a),所以=(-a,-a,a),=(-2a,2a,0),=(0,a,a),所以·=0,·=0,则OM⊥AC,OM⊥MN.故选A. ... ...