2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为( ) A. B. C. D. 2.若复数，则( ) A. B. C. D. 3.若函数的图像关于轴对称，则( ) A. B. C. D. 4.已知双曲线方程为，，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上任意一点，若点关于的对称点为点，点关于的对称点为点，线段的长度是，则双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.设，，，是同一个球面上四点，球的半径为，是面积为的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 7.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为( ) A. B. C. D. 8.命题“，使且成立”是假命题，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某研究小组依次记录下天的观测值：，，，，，，，，，，则( ) A. 众数是 B. 百分位数是 C. 平均数是 D. 前个数据的方差比最后个数据的方差大 10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位，依据上述公式，则下列结论中正确的是( ) A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 11.若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设向量的夹角的余弦值为，且，，则 _____． 13.设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为_____． 14.四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别在侧棱、、上，且满足，，若平面与侧棱交于点，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四边形中，，，，． 求； 求． 16.本小题分 函数． 在处的切线与直线平行，求实数的值． 证明：对于，，恒成立． 17.本小题分 如图，三棱锥中，，，，，，，为的中点． 证明：； 求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知点是抛物线：上的一点． 若点横坐标为，求抛物线在点处的切线方程； 过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点． 若，求点纵坐标； 求面积的最小值． 19.本小题分 如图，已知点列与满足，且，其中，． 求； 求与的关系式； 证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：中，由正弦定理得： ， 则， ； 由题意，， 所以， 所以． 16.解：因为函数． 所以． 由题意：，解得． 证明：，， 因为，所以，， 所以， 所以在单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 即在单调递增， 所以． 17.证明：，，，， 在中，，， ，又为中点，， ，，，， 取的中点，连接，， 则，， ，， 又，， 平面，又平面， ； 取的中点，，， 如图，以为原点，、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系： ， ，，， ，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 同理可求平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为： ，． 18.解：已知点是抛物线：上的一点， 的横坐标为， 则， 即， ， 又， 求得， 抛物线在处的切线斜率为， 切线方程为， 即． 设与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点， 由切线长相等可得：，，， 周长为， ， 设， 由抛物线的对称性，设， ， ， ， 由， 则， 解得， 所以点的纵坐标为． ， ... ...
