5.1.2弧度制 教学设计（表格式）2024-2025学年 高中数学人教A版（2019）必修第一册

弧度制 教学设计 教学目标 （1）了解弧度制的概念，体会其引入的必要性与定义的合理性. （2）能够应用弧度制度量角的大小. （3）了解角度制与弧度制的内在联系，能进行角度与弧度的互化，并简化弧度制下扇形的弧长与面积公式. 教学内容 教学重点： 理解1弧度的角和弧度制的定义. 教学难点： 弧度制的生成与理解.. 教学过程 回忆 任意角和角度值的概念 思考 1. 角度制是哪里来的？ 2. 为什么圆周角是360o？ 角度值的起源 在富饶的美索不达米亚平原上，公元前的古巴比伦人就开创性地将圆周进行360等分，并取其中一份称1“度”，记为1o，度下面又设有“分”和“秒”的单位，60分为1度，60秒为1分，这即为最早的角度制。 但是由于年代过于久远，我们已经无从得知古巴比伦人何时灵光一现想出这种度量方式，也不清楚他们为什么要将圆周等分成360等份，后世对其的解释主要有以下几种： （1）古巴比伦人熟悉用60进制进行计算。 （2）360是一个接近一年中天数的较为整齐的数据。 （3）360能被8整除，因此在以360度为周角大小的情况下，平角、直角、以及半个直角这些典型的角的度数都是整数。 （4）360有多个因数，这使得各种正多边形的内角大小也恰为整数度数。正n边形的内角大小为 也许正是因为上述多种原因，聪明的古巴比伦人最终选择了360这个神奇的数字作为角度制的肇始，无疑，这是一种完美的制度，它深刻影响了后世的数学，并在天文、航海、测绘等诸多领域有着广泛的应用，直至每一个现代社会的学生都要对其进行学习。 应该说，角的概念的扩充，完全可以研究函数了，但在研究函数的过程中，角度制有其不方便的地方：角度中，度、分、秒之间是60进制，计算不方便，更重要的是，三角函数的值是十进制，在实际应用中会有很多不便，尤其给数形结合带来麻烦，例如三角函数画图时，由于横轴（角度）与纵轴（三角函数的值）的单位不一致，图形会发生扭曲。而采用弧度制图形就会变得“优美”。 弧度制 如图，射线绕端点旋转到形成角在旋转过程中，射线上的一点(不同于点)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 设点所形成的圆弧的长为由初中所学知识可知于是. 如图，在射线上任取一点(不同于点)，.在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为.与的比值是多少？你能得出什么结论？ ∵，∴. 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角. 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度. 我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角. 根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 课堂小结 (1)角度制的起源； (2)弧度制的概念； (3)1弧度角的概念. 课后作业 见配套练习 ... ...