2024-2025学年黑龙江省哈尔滨四中高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则( ) A. B. C. D. 2.命题“对任意，都有”的否定是( ) A. 存在，使得 B. 不存在，使得 C. 存在，使得 D. 对任意，都有 3.不等式的解集是( ) A. B. C. D. 4.设，则( ) A. B. C. D. 5.下列各组函数是同一函数的是( ) 与； 与； 与； 与． A. B. C. D. 6.下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 7.二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为( ) A. B. C. D. 8.十六世纪中叶，英国数学家雷德科在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首先使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题错误的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 10.下列说法正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 函数的最小值是 11.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影设，用符号表示不大于的最大整数，如，称函数叫做高斯函数下列关于高斯函数的说法正确的有( ) A. B. 若，则 C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12.若正数，满足，则的最小值是_____． 13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 14.，则函数的解析式为_____． 15.若幂函数在区间上是严格减函数，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知集合，． 求集合、； 求和． 17.本小题分 已知函数． 求函数的定义域； 判断函数的奇偶性，并证明． 18.本小题分 已知函数，且． 求； 判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． 画出函数在上的大致图象要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势 19.本小题分 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥等人工费元已知这种水果的市场售价大约元千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为单位：元． 求单株利润元关于施用肥料千克的关系式； 当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 20.本小题分 已知函数． 当时，求函数的单调增区间写出结论即可； 在的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围． 当，求函数在上的最小值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：集合， 集合； ； 或， 所以． 17.解：根据题意，函数， 则有且， 解可得：且， 即函数的定义域为； 函数是偶函数． 证明如下：函数的定义域为， 则， 故， ， 所以是偶函数． 18.解根据题意，函数，且， 所以，所以． 函数，函数在上是单调递减． 证明如下：设， 则． 因为、，所以，所以，， 又因为，所以， 所以，即， 所以函数在上是单调递减． 函数在上的大致图象如图， 19.解：依题意， 又 所以 当时，，图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为． 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 因为， 所以当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的单株最大利润是元． 20.解：当时，， 根据二次函数的性质可知 ... ...
