2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册同步课时作业 1.7 平面向量的应用举例（含解析）

2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册同步课时作业 1.7 平面向量的应用举例 一、选择题 1．已知，，，，，则的最大值为( ) A. B.4 C.6 D. 2．某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量( ) A. B. C. D. 3．如图，圆O是边长为4的正方形的内切圆，是圆O的内接正三角形，若绕着圆心O旋转，则的最大值是( ) A. B. C. D. 4．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为，已知礼物的质量为m，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（重力加速度g）( ) A. B. C. D. 5．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t（单位：）为( ) A.7.2 B.7.8 C.120 D.130 6．在平面上有及其内一点O满足关系式：，即称为经典的“奔驰定理”.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则O为的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 二、多项选择题 7．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半,”这就是著名的欧拉线定理.设中,点O H G分别是外心 垂心和重心,下列四个选项中结论正确的是( ) A. B. C. D. 8．下列命题为真命题的是( ) A.是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值为 B.已知的三个内角分别为A，B，C，动点P满足，，则动点P的轨迹一定经过的重心 C.在中，若，则为锐角三角形 D.O为内部一点，，则，，的面积比为 三、填空题 9．一个所受重力大小为的物体从倾斜角为，斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是_____. 10．如图所示，一个物体被两条轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为_____N. 11．已知等边的外接圆O的面积为,动点M在圆O上,若,则实数的取值范围为_____. 四、解答题 12．在边长为2的等边中，D为BC边上一点，且． （1）若P为内一点（不包含边界），且，求的取值范围； （2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值． 13．一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点A的正北方向. （1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； （2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 参考答案 1．答案：C 解析：如图所示， 不妨设，，，，，满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点C在以，A为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ，，，所以该椭圆方程为， 而，即， 即，这表明了点D在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当C，D，E三点共线， 故只需求的最大值即可，因为点C在椭圆上面运动， 所以不妨设， 则， 所以当，且C，D，E三点共线时， 有最大值，. 故选：C. 2．答案：D 解析：根据题意可得. 图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图. 由对称性可得， ， 点B，C，E，Q共线，点Q，F，G共线， 所以，，所以.故选D. 3．答案：D 解析：由题意，可得， 又由， 所以， 又因为， 所以， 所以的最大值为，故选D. 4．答案：C 解析：设降落伞在匀速下落的过程 ... ...