2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习（学生版+教师版）2024-2025学年数学湘教版九年级上册

十一　一元二次方程根与系数的关系 知识点1　利用根与系数的关系求代数式的值 1．设方程x2－3x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为(A) A．3 B．－ C． D．－2 【解析】 由x2－3x＋2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝－3， 由根与系数的关系：x1＋x2＝－＝－＝3. 2．(2024·长沙质检)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则αβ的值为__－4__． 【解析】∵α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，∴αβ＝－4. 3．(2024·邵阳质检)若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是__－10__． 【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4， ∴根据根与系数的关系，可得－2＋4＝－b， －2×4＝c，解得b＝－2，c＝－8， ∴b＋c＝－10. 4．(2023·江西中考)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x2－x1x2＝__1__. 【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝3， 则x1＋x2－x1x2＝4－3＝1. 5．已知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2＋n2＝__6__． 【解析】由题意知，m，n是关于x的方程x2－2x－1＝0的两个根，则m＋n＝2，mn＝－1. 所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝2×2－2×(－1)＝6. 6．(2023·永州中考)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.现已知一元二次方程px2＋2x＋q＝0的两根分别为m，n. (1)若m＝2，n＝－4，求p，q的值； (2)若p＝3，q＝－1，求m＋mn＋n的值． 【解析】(1)根据题意得2－4＝－，2×(－4)＝，所以p＝1，q＝－8； (2)根据m＋n＝－＝－，mn＝＝－， 所以m＋mn＋n＝m＋n＋mn＝－－＝－1. 知识点2　应用根与系数的关系确定方程中未知系数的值 7．关于x的一元二次方程x2＋(a2－3a)x＋a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为(C) A．－3 B．0 C．1 D．－3或0 【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋(a2－3a)x＋a＝0的两个实数根互为倒数， ∴x1x2＝a＝1. 8．(2024·无锡质检)若一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＝x1x2，则m的值是(B) A．－1 B．3 C．3或－1 D．－3或1 【解析】∵关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2m＋3)2－4m2＝12m＋9>0，∴m>－， ∵x1＋x2＝2m＋3，x1·x2＝m2， 又∵x1＋x2＝x1·x2，∴2m＋3＝m2， 解得m＝－1或m＝3， ∵m>－，∴m＝3. 9．(2024·成都期中)若α2－2α＋k＝0，β2－2β＋k＝0，且α2－α＋β＝5，α≠β，则k＝__－3__． 【解析】∵α2－2α＋k＝0，β2－2β＋k＝0，且α≠β， ∴α和β是方程x2－2x＋k＝0的两个根， ∴α＋β＝2， ∵α2－α＋β＝5， ∴α2－2α＋α＋β＝5， ∴－k＋2＝5，∴k＝－3. 10．关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是，求另一个根及m的值． 【解析】设方程的另一个根是x1，由一元二次方程根与系数的关系，得 由②，得x1＝－4. 代入①，得＋(－4)＝－，解得m＝10. 所以，方程的另一个根是－4，m的值是10. 11．(2023·怀化中考)对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则它的根的情况为(A) A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是－2 D．有两个不相等的实数根 【解析】∵a＝2，b＝－3，c＝4， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0， ∴一元二次方程2x2－3x＋4＝0没有实数根． 12．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(A) A．－2 B．3 C．3或－2 D．－3或2 【解析】设x1，x2是x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根，则Δ＝－4m≥0， ∴m≤0，∵x1＋x2＝－2m，x1·x2＝m2＋m， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2 ＝4m2－2m2－2m＝2m2－2m＝12， ∴m＝3或m＝－2；又∵m≤0，∴m＝－2. 1 ... ...