3.5相似三角形的应用 同步练习（学生版+教师版）2024-2025学年数学湘教版九年级上册

二十二　相似三角形的应用 知识点1　测量宽度 1.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC，CD，DE；②CD，BC，EF； ③EF，DE，BD；④EF，FD，BC. 能根据所测数据，求出A，B间距离的有(A) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【解析】①仅知道DE，DC，BC无法求出AB； ②仅知道CD，BC，EF无法求出AB； ③由于已知EF，DE，BD， 根据△FED∽△ABD即可求出AB的长； ④仅知道EF，FD，BC无法求出AB. 2．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O.若线段AB＝4 cm，则线段CD长为(C) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE，OF分别是△AOB，△DOC的高线， ∵作业本中的横格线都平行， ∴△AOB∽△DOC， ∴＝，即＝， ∴CD＝6 cm. 3．(2024·常德质检)一把剪刀如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，当手握的地方EC张开3 cm时，剪刀的尖端A，D两点的距离为__6__ cm. 【解析】∵AB＝2BC，BD＝2BE， ∴＝2，＝2，∴＝， 又∵∠ABD＝∠CBE，∴△ADB∽△CEB， ∴＝，∴＝2， 解得：AD＝6 cm. 4．如图的比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的．如果螺丝钉点O的位置使OA＝3OD，OB＝3OC，那么，当A，B两点间的距离为5时，C，D两点间的距离为____. 【解析】∵∠COD＝∠BOA，OA＝3OD，OB＝3OC， ∴△ABO∽△DCO， ∴＝，即＝，∴CD＝. 【加固训练】 如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm.求点A与点B之间的距离． 【解析】连接AB交直线OC于点E， ∵这个侧面图是轴对称图形，得AB⊥OE，AE＝BE， ∴OC＝＝ ＝26(mm). ∵∠AOE＝∠COD，∠OEA＝∠ODC＝90°， ∴△OAE∽△OCD. ∴＝，即＝，∴AE＝15 mm， ∴AB＝2AE＝30 mm. 知识点2　测量高度 5.如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m，当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高(B) A．2 m B．4 m C．4.5 m D．8 m 【解析】如图所示， 由题意知OC＝OA＝1，OD＝OB＝8，CE＝0.5， ∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE∥DF， ∴△OCE∽△ODF， ∴＝，即＝， 解得DF＝4，即长臂外端B升高4 m． 6．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30 cm，光源到屏幕的距离为90 cm，且幻灯片中的图形的高度为7 cm，则屏幕上图形的高度为(A) A．21 cm B．14 cm C．6 cm D．24 cm 【解析】如图所示，∵DE∥BC， ∴△AED∽△ACB，∴＝， 设屏幕上的图形高是x cm，则＝， 解得x＝21. 故屏幕上图形的高度为21 cm. 7．如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？ 【解析】过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H，M为垂足，则∠A＋∠AEH＝90°. ∵∠AEC＝90°，∴∠AEH＋∠CEM＝90°， ∴∠A＝∠CEM. ∵∠AHE＝∠CME＝90°， ∴△AHE∽△EMC， ∴＝，即＝，解得CM＝6， ∴CD＝CM＋DM＝6＋1.5＝7.5(米). 8．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了(A) A．0.5米 B．0.6米 C．0.3米 D．0.9米 【解析】如图：∵AB∥EF， ∴△DAB∽△DEF， ∴AD∶DE＝AB∶EF， ∴0.6∶1＝0.3∶EF， ∴EF＝0.5米． ∴捣头点E上升了0. ... ...