第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量的概念和运算 【学习目标】 类比平面向量的概念和表示，理解、识记空间向量的概念、表示以及几个特殊向量的概念，特别是理解、识记直线的方向向量的概念； 理解空间向量运算的“平面性”，类比平面向量掌握空间向量加法、减法、数乘和数量积的运算法则； 【重点难点】 共面向量定理以及利用共面向量定理证明4点共面； 选择合适的向量作为“基底”表示所需向量，进而解求距离、线线夹角以及证明线 线平行和垂直等问题. 【导学流程】 阅读课本，认真分析空间向量的概念和加、减、数乘以及数量积的运算法则，完成以下问题. 探究一、空间向量的概念和表示 1.空间向量的概念 在空间中，把具有 和 的量叫空间向量. 空间向量 2.空间向量的概念和表示概述 3.两种空间向量的概念 （1）直线的方向向量 若非零向量所在的直线与直线l ，则就叫做直线l的方向向量. 直线的方向向量 （2）共面向量：如果向量所在的直线平行于平面或在平面内，就说向量平行于平面. 于同一个平面的向量，叫做共面向量。空间中任意两个向量 必然 共面，但是三个向量可能共面，也可能不共面。两个或多个向量共线 一定 共面。 规定：零向量和任意两个向量都共面. 空间两个向量必然共面 空间三个向量可能共面，也可能不共面 探究二、空间向量的运算 1.空间向量运算的“平面性”举例 （1）作图求 （2）平移到起点相同 （3）空间向量运算变为平面向量运算 2.空间向量运算概述 3.共面向量定理及四点共面的判断方法 我们知道，任意两个空间向量一定共面，但三个空间向量可以共面，也可以不共面，如下图所示： （一）大前提： 向量不共线 . （1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 . （2）定理本质： 平面向量基本定理 . （3）证明四点共面的方法： . （二）当（非零向量）共线，且时，与的关系分析 与的关系 共线 不共线 共面，但不共线 （三）典例·概念辨析 例1.给出下列结论中，正确的有( ) A. 若，，共面，则存在实数，，使得． B. 若，，不共面，则不存在实数，，使得． C. 若，，共面，，不共线，则存在实数，，使得． D. 若，则，，共面． 4.投影向量 （1）向量在向量（或直线）上的投影向量（同平面向量）. （2）向量在平面上的投影向量. （1） （2） 【典型例题】 题型一、空间向量的线性运算 1. 已知空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 在正方体，若，则的值为 A．3 B．1 C．－1 D．－3 3. 设三棱锥中，，是的重心，则（ ） A. B. C. D. 题型二、3点共线、4点共面问题 1. 如图所示，在正方体中，E在上，且，在对角线上，且 （1）用向量表示向量； （2）求证：E,F,B三点共线。 2. 设是空间两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，求实数的值. 3. 设空间四点满足，若A,B,P三点共线，求m+n的值. 4.【结论，要识记】已知空间任意一点和不共线的三点，满足向量式 , 若四点共面，求x+y+z的值. 5.如图，在平行六面体中，为的中点，点满足.若四点在同一个平面上，则（ ） A. B. C. D. 题型三、空间中的投影向量 1. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于 ． 题型四、空间向量的数量积运算 1. 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点. 求，； 2. 如图所示，正方体中，用“向量法”求异面直线与所成的角. 3. 如图，正三棱柱的各个棱长都是2，E,F分别是AB，的中点，用“向量法”求EF的长. 第1题 图 第2题 图 第3题 图 ... ...
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