泸州市龙马潭区泸化中学高2023级高二上期半期考试 数学试题 一、单选题（共40分） 1. 【答案】B 2. 【答案】C 3. 【答案】A 4. 【答案】C 5. 【答案】D 6. 【答案】A 7. 【答案】A 8. 【答案】C 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 【答案】ACD 10. 【答案】ACD 11. 【答案】ACD 12. 【答案】AB 三、填空题（共20分） 13. 【解析】 14. 【答案】 ①. ②. 4 15.【答案】144 16. 【答案】3 四、解答题（共70分） 17. 【解析】 【分析】（1）利用两条直线垂直条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值． （2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值． 【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0， 由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得． （2）由题意可知m不等于0, 由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1． 18. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程； （2）将代入回归直线方程，即可得解. 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得， ， 所以，， ， 所以，，， 所以，违章人数与月份之间的回归直线方程为. 【小问2详解】 解：当时，， 因此，预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为人. 19. 【解析】 【分析】（1）圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线上，两方程联立可求出圆心坐标，进而得出半径，从而求出圆的方程； （2）根据条件得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，由弦长公式求出，则三角形面积可求. 【小问1详解】 设圆C的标准方程为， ∵线段的中垂线方程：，又圆心在直线上， 则，∴，即, ∴， ∴圆C的方程为； 【小问2详解】 由条件得直线l：， 圆心C到直线l的距离， ， ∴． 20. 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数m作答. （2）由给定条件，将双曲线方程化简为，再与点P的轨迹方程联立求出作答. 【小问1详解】 依题意，，而，则，消去m得：， 所以点P的轨迹方程是. 【小问2详解】 因双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，即，双曲线C的方程为， 由消去y并整理得：，设，， 则，，又以MN为直径的圆经过原点，即OM⊥ON，有， 而， 因此，，，解得，， 所以双曲线方程为. 21. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面OPM的一个法向量和平面AOP的一个法向量，利用，即可求解. 【小问1详解】 证明： 如图，延长OG交AC于点M. 因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点. 因为O为AB的中点，所以. 因为AB是圆的直径，所以，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以. 又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC. 即平面PAC. 又平面OPG，所以平面平面PAC. 【小问2详解】 以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz， 则，，，，，， 则，，， 平面OPG即为平面OPM， 设平面OPM的一个法向量为， 则 令，得.且 设平面AOP的一个法向量为， 则 令，得.且 设所求二面角的平面角为， 因为， 因为所求二面角为锐角， 所以二面角A-OP-G的余弦值为 22. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，得2b，，结合隐含条件即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ），可知A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），求得F1M的方程为，记直线F1M与椭圆的另一交点为M′，设M（x1，y1）（y1＞0），M′（x2，y2），得N（﹣x2，﹣y2），联立直线方程与椭圆方程，求得M，N的坐标，代入斜率公式求解． 【详解】（Ⅰ）由题意，得，. 又，∴，，. ∴椭圆C的标准方程为. （Ⅱ） 由（Ⅰ）， ... ...
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