中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第四册 第十章 复数 全卷满分150分 考试用时120分钟 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知i是虚数单位,复数z=,则的虚部为( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 2.已知复数z=2i·(1-i),则复数z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知复数z=为纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则a=( ) A.-2 B.- D.2 4.已知z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t的值为( ) A. C.- 6.已知1+2i是关于复数z的方程z2-mz+n=0(m,n∈R)的一根,则m+n=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 7.非零复数z1,z2在复平面内分别对应向量,(O为坐标原点),若+=0,则( ) A.O,Z1,Z2三点共线 B.△OZ1Z2是直角三角形 C.△OZ1Z2是等边三角形 D.以上都不对 8.若复数z=a+bi(a,b≠0),=2,则与a,b的值无关的是( ) A. C. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),则下列命题正确的是( ) A.若z为纯虚数,则m=1 B.若z为实数,则z=0 C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1 D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限内 10.已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z在复平面内对应的点在第一象限内,则下列结论正确的是( ) A.复数z的虚部为- B.i C.z2=z-1 D.复数z的共轭复数为-i 11.已知z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),z1,z2∈C,定义:D(z)=|a|+|b|,D(z1,z2)=|z1-z2|,则下列结论正确的是( ) A.对任意的z∈C,都有D(z)>0 B.若是复数z的共轭复数,则D()=D(z)恒成立 C.若D(z1)=D(z2),则z1=z2 D.对任意z3∈C,结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)恒成立 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.将答案填在题中横线上) 12.若复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为 . 13.已知i为虚数单位,若复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则|z+1|= ;z·= .(本题第一空2分,第二空3分) 14.若1≤|z|≤2,则复数u=(1+i)在复平面内对应的点A组成的集合所表示的图形的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)当实数m满足什么条件时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i: (1)与复数2-12i相等 (2)与复数12+16i互为共轭复数 (3)在复平面内对应的点在实轴上方 16.(15分)在①z<0;②z为虚数;③z为纯虚数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并解答. 已知复数z=(m2-2m-8)+(m2-4)i(m∈R). (1)若 ,求实数m的值或取值范围; (2)若复数z-m2(1+i)+8的模为2,求m的值. 17.(15分)已知复数z1,z2满足z1·z2∈R,z1=. (1)求z1; (2)求|2z1+z2|的最小值. 18.(17分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2. (1)求复数z; (2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 19.(17分)复数z和ω满足zω+2iz-2iω+1=0,其中i为虚数单位. (1)若z和ω满足-z=2i,求z和ω; (2)求证:如果|z|=,那么|ω-4i|是一个常数,并求这个常数. 答案全解全析 1.A z==3i(1+i)=-3+3i,所以=-3-3i,其虚部为-3,故选A. 2.A 因为z=2i·(1-i)=2i-2i2=2+2i,所以该复数在复平面内对应的点为(2,2),位于第一象限.故选A. 3.B z=i, 因为z为纯虚数,所以.故选B. 4.A 若z1=z2,则解得m=1或m=-2,所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件. 5.A 因为z2=t+i,所 ... ...
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