2024-2025学年广东省广州八十九中高二（上）月考数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则( ) A. B. C. D. 2.空间直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 3.如图，在四面体中，是的中点设，，，用，，表示，则( ) A. B. C. D. 4.若向量垂直于向量和，向量且，，则( ) A. B. C. 不平行于，也不垂直于 D. 以上三种情况都有可能 5.如图，在平行六面体中，，，，则( ) A. B. C. D. 6.已知直线过定点，且方向量为，则点到的距离为( ) A. B. C. D. 7.把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，，分别为，，的中点，则折纸后的大小为( ) A. B. C. D. 8.棱长为的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知空间中三点，，，则下列结论正确的有( ) A. B. 与共线的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10.给出下列命题，其中正确的命题是( ) A. 若，则，是钝角 B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量 C. 若，则可知 D. 在四面体中，若，，则 11.在正方体中，动点满足，其中，，且，则( ) A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，不存在点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，，，若，，三点共线，则 _____． 13.在长方体中，，，若为的中点，则点到面的距离是_____． 14.如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，． 求的值； 求向量与夹角的余弦值． 16.本小题分 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点． 求证：平面； 求直线与平面所成角的正切值． 17.本小题分 如图，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，是的中点，是底面圆周上一点，． 求的值； 求异面直线与所成角的余弦值． 18.本小题分 如图，在长方体中，，为的中点． 求证：； 在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由； 若平面与平面夹角的大小为，求的长． 19.本小题分 如图，已知矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． 求证：平面平面； 若点是线段上的一动点，且，当二面角的余弦值为时，求的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：已知向量，， 则， 则； 由已知可得：，， 则， 又，， 则向量与夹角的余弦值为． 16.解：证明：因为，为的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形，所以， 所以，所以， 因为，即，所以， 又因底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面； 因底面，所以，平面， 所以，，又因为矩形，所以， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得，，所以， 设直线与平面所成角为，， 所以， 则． 所以直线与平面所成角的正切值为． 17.解：中，，，， 根据余弦定理，． 如图，以点为原点，，为轴和轴，过点作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 18.解：证明：在长方体中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 于是，， 而， 则， 所以． 由知，，， 假设在棱上存在一点，使得平面，， 设平面的法向量， 则，则， 取，得， 要使平面，只要，即，解得， 又平面， 所以存在点，满足平面 ... ...
