北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（PDF版，含答案）

海淀区 2024—2025 学年第一学期期中练习 高三数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） （1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）B （7）B （8）C （9）A （10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 2 5 2 1 π π （ 11 ）1 （12） （13） , （14）[ , ), 2 5 3 3 6 2 （15）①②④ 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16）（本小题 13 分） 解： （Ⅰ）当 n 2 时，an = Sn S n 1 n 1 = 2 3 ， 因为{a }是等比数列，所以a1 = 2 . n 又因为a1 = S1 = 3+b，所以b = 1； n 1 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知an = 2 3 ， a 因为a = 6 ，且 2n+2 = 9，{ 或者 a = 6 9n 12 2n } a2n 所以{a }是以6 为首项，9为公比的等比数列； 2n Tn = (a2 + a4 + + a2n ) + [1+ 3+ + (2n 1)] 9n 1 2n n = 6 + 9 1 2 3 = (9n 1)+ n2 . 4 高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 7 页） （17）（本小题 14分） 解： （Ⅰ）条件① f (x) = Asin2x+ cos2x， π 7π π π 7π 7π 所以 f ( ) + f ( ) = Asin + cos + Asin + cos = 0 ， 4 12 2 2 6 6 A 3 所以 A = 0 . 2 2 解得 A = 3 . 条件②： f (x) = Asin2x+ cos2x , π 所以 f (x)的图象向右平移 后所得图象关于原点对称. 12 π 所以 f ( ) = 0， 12 π π A 3 即 Asin( ) + cos( ) = + = 0， 6 6 2 2 计算得 A = 3 . 经验证： A = 3 . 条件③： f (x) = Asin2x+cos2x , 2 1 π所以 f (x) = A +1sin (2x + ) 其中 tan = , (0, ) . A 2 由题意可知 2| f (x)max f (x)min |= 4，即 A +1 = 2， 因为 A 0， 所以 A = 3 . π （Ⅱ） f (x) = 3sin2x+cos2x = 2sin(2x + ) 6 π π 当 2x + = + 2kπ,k Z时 f (x) 取得极大值, 6 2 π 即 x = + kπ,k Z . 6 因为 f (x)在 (0,m) 上有且仅有两个极大值点, 所以 k = 0,1符合题意, 高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 7 页） 7π 13π 所以m ( , ] . 6 6 （18）（本小题 14 分） 解： (x2 a) ex (x2 a) ex 2x ex (x2 a) ex （Ⅰ） f (x) = = (ex )2 ex x2 + 2x + a = ex f (0) = 3, 依题意 解得 a = k = 3 . f (0) = k, x2 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) = . ex x2 + 2x + 3 (x +1)(x 3) 法一： f (x) = = ， ex ex 令 f (x) = 0，解得 x = 1或3， f '(x), f (x) 的变化情况如下表： x ( , 1) 1 ( 1,3) 3 (3,+ ) f (x) 0 + 0 f (x) 极小值 极大值 由表格可知， f (x)有极小值 f ( 1) = 2e， 因为当 x (3,+ ) 时， f (x) 0 ， 所以 f (x)最小值为 2e . x2 3 法二： f (x) = ，因为ex 0， ex 要求 f (x)最小值，只需考虑 x ( 3, 3)， 高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 7 页） x2 + 2x + 3 (x +1)(x 3) f (x) = = ex ex 令 f (x) = 0，解得 x = 1或3， f (x), f (x) 随 x变化如下表： x ( 3, 1) 1 ( 3, 1) f (x) 0 + f (x) 极小值 由表格可知， f (x)有极小值 f ( 1) = 2e， 此时，极小值即为最小值，所以 f (x)有最小值 2e . （19）（本小题 14 分） 解： 5 7 （Ⅰ）因为 cos BAC = 0， 14 所以 BAC 为锐角， 21 所以 sin BAC = 1 cos2 BAC = ， 14 AC BC 在△ ABC 中， = ， sin ABC sin BAC BC sin ABC 所以 AC = = 7 ， sin BAC 因为 7 3， 所以 A处工作人员用对讲机能与C 处工作人员正常通话. （II）方法一： 2 7 由余弦定理， AD2 = AC2 +CD2 2AC CD cos ACD =7 + 4 2 7 2 = 3， 7 因为 AD2 +CD2 = 3+ 4 = 7 = AC2 ， 所以 AD 的长为点 A与直线 PQ上所有点的距离的最小值， 所以 D点选址符合要求. 方法二： 假设 PQ上的 E 点接收景点入口 A处对讲机的信号最强，则 AE ⊥ PQ， 高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 7 页） 2 7 所以CE = AC cos ACD = 7 = 2 ， 7 所以 D点选址符合要求. （20）（本小题 15 分） 解： （ ... ...