中小学教育资源及组卷应用平台 空间向量与立体几何 一、单选题 1．（2024·全国）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·全国）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2024·全国）设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或 ②若，则 ③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 4．（2024·北京）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·天津）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 6．（2024·天津）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·全国）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 三、填空题 8．（2024·全国）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 ． 9．（2024·北京）已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为 ． 10．（2024·上海）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 四、解答题 11．（2024·全国）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 12．（2024·全国）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得． (1)证明：； (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值． 13．（2024·全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 14．（2024·全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 15．（2024·北京）已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，． (1)若F是PE中点，证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（2024·天津）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 17．（2024·上海）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 参考答案： 1．B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 2．B 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【解析】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成 ... ...
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