第三章 空间向量与立体几何 单元测试 一、单选题 1．已知，，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是 A．(-1,-1,-1) B．(1,-1,1) C．(1,-1,-1) D．(-1,1,-1) 3．若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A． B． C． D． 4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ） A． B． C． D． 5．两平面的法向量分别为，若，则的值是（ ） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 6．已知，若平面的一个法向量为，则（ ） A． B． C． D． 7．在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（ ） A． B． C． D．1 8．在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（ ） A． B． C．3 D． 二、多选题 9．已知在边长为2的正方体中，点M在线段上（含端点位置），现有如下说法：①平面；②；③点M到平面的距离的最大值为1；④为等边三角形.则正确的说法为（ ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，正方体的体积为8，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．直线与为异面直线 B．向量在向量上的投影向量为 C．若为上靠近点的四等分点，则4 D．线段上存在点，使得平面 11．已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ） A． B．分别是线段和上的两个动点，则 C．平面与平面夹角的正弦值为 D．平面EFG被正方体截得的截面面积为 三、填空题 12．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 . 13．已知向量，，且与平行，则 . 14．已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 四、解答题 15．化简下列算式： (1)； (2)． 16．如图所示是一个平行六面体，化简． 17．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 18．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． (1)证明：； (2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 19．化简：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B B C A A ABD ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据投影向量的定义，分别计算出数量积及的模长，即可得出答案. 【详解】易知，，所以． 因为，所以， 故在上的投影向量为． 故选：D． 2．C 【分析】根据待求点在各个平面的射影点到各个坐标轴的距离以及对应的正负半轴确定点的坐标. 【详解】依据空间点的坐标定义，点A的坐标是(1，-1，-1). 故选C. 【点睛】本题考查根据空间直角坐标系写出点的坐标，难度较易. 3．D 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设， 又， ，解得， 即. 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 4．B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】由题知，在正四面体中， 因为平面， 所以是的中心， 连接，则， 所以 . 故选：B 5．B 【分析】由，可得，则，从而可求得结果. 【详解】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以， 故选：B 6．C 【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可. 【详解】由得： ， 面的一个法向量为， 所以， 即， 解得， 所以， 故选：C． 7．A 【分析】由正方体性质可知，平面，平面平面，故动点在直线上，建立空间直角坐标系，利用空间向量法表示线线角，并求最值. 【详解】 由正方体性质可知，，，， 平面，平面， 易知平面，平面平面， 故动点在直线上， 设正方体棱长为1，并如图建立空 ... ...
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