中小学教育资源及组卷应用平台 24.1.2垂直于弦的直径 教学设计 1.探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 结论证明： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 定理辨析： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 定理推论 如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？ 所得命题： 已知：AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使AM=BM. 求证（1）CD⊥AB （2） 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径. 三、课堂小结 在利用垂径定理解题时，通常需要作____，构造_____， 把____定理和____定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长 a之间的关系式. 四、作业布置 见精准作业设计中小学教育资源及组卷应用平台 24.1.2垂直于弦的直径 教学设计 一、教学目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论. 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论. 难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 二、教学过程 探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 结论证明： 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上. 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又 AA′⊥CD ∴ AM=MA′ 即CD是AA′的垂直平分线 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M ，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 线段: AE=BE 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： ∵ CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E. ∴ AE=BE，. 垂径定理的几个基本图形： 定理辨析： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1）是 （2）不是，因为没有垂直 （3）是 （4）不是，因为CD没有过圆心 定理推论 如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？ 所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 已知：AB是⊙O的一条弦， 作直径CD，使AM=BM. 求证（1）CD⊥AB （2） 证明: （1）连接AO,BO,则AO=BO 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS） ∴∠AEO=∠BEO=90° ∴CD⊥AB （2）由垂径定理可得 垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言： ... ...
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