《4.1.1 n次方根与分数指数幂》教案

第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 1．了解根式的概念以及分数指数幂的意义； 2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，以及分数指数幂的运算性质，了解指数幂的意义； 3．通过具体情境，引发思考，增强求知欲，感受探索未知世界的乐趣，从而培养对数学的热爱情感． 重点：n次方根及根式的概念和性质，能利用根式的性质对根式进行运算；理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化. 难点：能利用根式的性质对根式进行运算; 理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化． （一）创设情境 情境：公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯 的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生. 初中已经学过整数 指数幂，为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实 数，上面的情景描述的，正是我们本节课要学习的知识之一根式. 师生活动：教师讲述情景并提出问题，让学生思考.学生思考后，继续讲述情景问题的答案，引出的和本节相关的知识点. 设计意图：通过经典历史数学问题，集中学生注意，回顾历史知识点，引出本节课知识点之一根式. （二）探究新知 任务1：n次方根的概念 思考：你还记得初中时平方根、立方根是如何定义的吗？ 如果，那么 叫做 的平方根. 例如，就是4的平(2次)方根. 如果，那么 叫做 的立方根. 例如，就是8的立(3次)方根. 师生活动：教师根据创设情景中提到根式，以及板书内容.引导学生观察板书内容的描述，总结规律. 类似地，由于，我们把叫做16的4次方根. 由于，我们把叫做32的5次方根. 思考：能否类比上方的描述，归纳总结. 答：一般地，如果，那么叫做的n次方根. 其中，且. 设计意图：通过创设情景中提到根式，以及板书内容的引入，引导学生通过归纳总结出n次方根的概念. 任务2：n次方根的性质 思考：观察下面表述，并尝试总结规律. 4的平方根（2次方根）：±2； -4没有偶次方根 8的立方根（3次方根）：2； -8的立方根（3次方根）：-2 16的4次方根：±2； -16没有偶次方根 32的5次方根：2； -32的5次方根：-2 师生活动：教师提出问题，引导学生从以下4点寻找规律，然后分组发言： 1.根的次数（n）的奇偶性；2.根数量；3.被开放数（a）正负；4.特殊情况 总结：一般地，如果，其中，且. 1.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示. 例： 2.当n是偶数时，正数的n次方根有两个且互为相反数.正的n次方根用表示，负的用表示可合并成(a>0). 例： 3.负数没有偶次方根.（因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数.） 4.0的任何次方根都是0.记作： 设计意图：通过实例引入，让学生思考，归纳总结出n次方根的性质. 任务3：根式的概念 【概念形成】式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 根据n次方根的定义 比如： 注意：1一般读作“n次根号a” 2、当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义. 3、当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a. 思考：（1）表示的n次方根，一定成立吗？ （有什么区别？ 要求：先独立思考，再分组讨论并发言. 答：（1）当n为奇数时：； 当n为偶数时： （2）是实数的n次方根，不受a的正负限制. 但是受n的奇偶限制. 本质算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于，参照思考（1）答案；是实数的n次方，在有意义的前提下，实数的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于. 师生活动：引导学生结合根式的概念独立思考后，教师引导学生从根指数奇偶，被开发数符号思考，小组内交流讨论形成结论，最后师生共同归纳总结出答 ... ...