《4.5.3函数模型的应用》 教案

第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第1课时 函数模型的应用 1.能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解其中的数学关系； 2.在已知函数模型时，能够确定参数，计算求解，验证结果； 3.发展学生逻辑推理、数学抽象、数学建模等核心素养. 重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体会数学建模的基本步骤； 难点：选择合适的函数模型分析和解决实际问题. （一）创设情境 情境：某企业由于引进新的技术，产值逐年增长，如果从年起，每年的产值比上一年平均增加，那么至少经过多少年产值能翻两番？参考数据：， 师生活动：教师给出问题，引导学生思考，教师评价. 思考1：问题中的关键词有哪些？它们的含义分别是什么？ 答：年平均增长率、翻两番. 前者指的是每年在上一年的基础上增长的比例；后者指的是翻了倍. 思考2：结合所学知识，你能给出完整的解答过程吗？ 答：设经过年可以翻两番，依题意得：， 即， 两边同时取常用对数得， 即 ， 所以至少要经过年产值翻两番． 设计意图：学生对单独的函数问题比较熟悉，但是在利用函数解决生活中的实际问题时，往往因为对某些关键词理解困难而导致错误，所以在课堂或练习中教师应该注意引导学生去理解，熟知这些词汇.此外，以问题的形式引入，让学生感受指数函数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣，为接下来的学习做铺垫. （二）探究新知 任务一：利用已知函数模型解决实际问题 探究1：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据．早在年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率． 根据国家统计局网站公布的数据，我国年末、年末的人口总数大约分别为万和万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在年期间的具体人口增长模型． (2)利用中的模型计算年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布 的我国在年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. (3)以中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到亿？ 师生活动：教师出示例题并提出问题，引导学生分析问题、分析数据，学生思考、讨论、交流后回答，教师点评并总结. 思考1：要建立这个模型，需要确定哪些参数的值？ 答：需要确定和. 思考2：我国自年起的人口增长模型中人口数初始量是多少？ 答：依题意年末的人口总数是万，即. 思考3：如果将年记为第一年，那么年是第几年？从年到年经过了几年？ 答：年是第十年；从年到年经过了年. 思考4：如何计算年期间我国人口的平均增长率？ 答：根据已知得，且当时，.利用人口增长模型可以求出在年期间我国人口的年平均增长率. 师生活动：教师组织学生小组合作，利用多种方法计算出结果，集体交流、总结后教师出示规范解答： 解：（1）由题意知，设年期间我国人口的年平均增长率为，根据马尔萨斯人口增长模型，有，由计算工具得. 因此我国在年期间的人口增长模型为， 思考5：如何检验所得模型与实际人口数据是否吻合？ 答：①利用确定的人口增长模型计算求得我国年各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的我国在年各年末的实际人口总数相比较，即可检验所得模型与实际人口数据是否相符. ②画出函数，的图象，并根据国家统计局网站公布的年各年末的我国人口总数实际数据画出散点图，通过观察图象即可检验所得模型与实际人口数据是否相符. 思考6：所得模型与年的实际人口数据是否为吻合？ 答：首先利用人口增长模型，求得我国在年各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的我国在年各年末的实际人口总数，列出表格，比较可知所得模型与实际人口数据基本吻合. 师生活动：教 ... ...