【讲练测】专题07 一元二次方程及其应用（讲）6个考点+37个题型 2025年中考数学一轮复习重难点突破（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题07 一元二次方程及其应用 熟悉一元二次方程的定义，能够准确的判断是否为一元二次方程，并用一元二次方程的定义求方程中的参数。 牢记一元二次方程的一般式，清楚一元二次方程各项系数的定义以及其在方程中的作用。 熟练掌握一元二次方程的四种解法，分别为直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，根据方程的特点选择适合的方法进行求解。 深入理解根的判别式，能利用判别式判断方程根的个数以及根的性质（实数根、相等实数根、无实数根） 掌握一元二次方程根与系数的关系，并运用这些关系解决相关问题，比如已知方程的根求方程中的参数。 熟悉一元二次方程在实际应用中的常见模型，例如增长率问题、传播问题、营销问题、行程问题以及几何问题等等。 通过 后，只含有 未知数（一元），并且未知数的 （二次）的 方程，叫做一元二次方程 一元二次方程的一般式为（其中、、为常数，），其中为 ，为 ，为 ，为 ，为 。 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 。 ：一般的对于方程形式 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当时，方程无实数根. ：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成形式 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，. （2）当时，方程有两个相等的实数根. （3）当时，方程无实数根. ：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，方程的根：. ：如果一元二次方程存在两个实根、，那么它可以因式分解为. 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，即. 当 时，方程有 的实数根； 当 时，方程有 的实数根； 当 时，方程 实数根； 若一元二次方程有两个实数根、， 则， 注意：使用根与系数的关系公式的前提是 . 一元二次方程增长率问题：（其中表示增长前的基数，表示增长后的基数，表示增长率） 一元二次方程利润问题： = ×销售量=（ - ）×销售量. 一元二次方程中比赛问题：比赛场数=（其中表示参加比赛的队伍个数） 一元二次方程在实际应用中的解题步骤主要包括以下几个步骤 ： （1） ：首先，需要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的数量关系。 （2） ：根据题目的需求，选择合适的未知数。有时可以直接设未知数，有时需要通过间接设元来简化问题 。 （3） ：根据题目中的等量关系，列出包含未知数的方程。这一步是解题的关键，需要找到题目中的等量关系，并将其转化为数学表达式。 （4） ：求解列出的方程，得到未知数的值。解方程时需要注意解的合理性，必要时进行检验。 （5） ：对求得的解进行检验，确保其满足题目的实际条件。一元二次方程的解可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等。 （6） ：将求解过程和结果清晰地写在答案中，注意答案的表述要准确无误. 【经典例题1】（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2022·辽宁抚顺·模拟预测）下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2023·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2024·河南安阳·一模）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D．（为常数） 【变式训练1-4】（2023·江苏徐州·模拟预测）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C．（a，b，c为常数） D． 【经典例题2】（2024·天津·模拟预测）关于的方程是一元二次方程，则的值为 . 【变式训练2-1】（2024·新疆和田·模拟预测）方 ... ...