1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 教案（共3课时）

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 1.感受立体图形与空间向量的联系，体会用空间向量确定空间图形基本要素的方法; 2.掌握空间图形基本要素点、直线、平面的空间向量表示; 3.能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤,会求直线的方向向量与平面的法向量. 4.理解直线的方向向量和平面的法向量的过程中，经历数学概念的抽象过程，培养数学抽象素养，发展数学运算素养. 重点：掌握空间中点、直线、平面的空间向量表示. 难点：求直线的方向向量与平面的法向量． （一）创设情境 我们知道平面向量可以推广到空间向量，通过空间向量建系转化为代数的运算. 问题：空间向量解决了哪些几何问题？ 预设答案：空间向量可以解决平行、垂直、距离和夹角问题. 追问：利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？ 关键是将空间向量与立体几何建立对应的关系. 那么立体几何中的点、线、面在空间向量中应如何表示呢？ 师生活动：教师提出问题，让学生思考回答，引导学生理解空间向量与立体几何间的对应关系. 设计意图：通过复习空间向量与立体几何间关系，自然引申出本节课的教学重点———空间中点、线、面的向量表示. （二）探究新知 任务1：空间中点和直线的向量表示 思考：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 如图，在空间中,我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的位置向量. 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的一个点，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 思考:空间中，如何确定一条直线呢？ 直线l 由点A和方向向量 唯一确定. 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l． 探究：如何用向量表示直线l？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报展示. 取=,对直线l上任意一点P，点P在直线l上的充要条件是存在实数t, 使得=t ，即=t. 小结：直线上点A和方向向量 确定直线 l. 取定空间中任一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t ①， 将=代入①式，得=+t ②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 总结： 向量表示直线的三种形式 ①点P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, 使得 =t，即=. ②取定空间中任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t . ③取定空间中任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+t . 思考：如何理解直线的方向向量？ （1）在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)表示同一条直线的方向向量，模不一定相等，方向相同或相反． 设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示空间中的直线及方向向量的特点，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养. 任务2：空间中平面的向量表示 回顾：如何确定一个平面呢？ （1）不共线的三点确定一个平面； （2）直线和直线外一点确定一个平面； （3）两条相交直线确定一个平面； （4）两条平行直线确定一个平面. 思考：一个定点和两个定方向确定一个平面？ 师生活动：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 设两条直线相交于点A，它们的方向向量分别为和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 =x+y . 点A与向量，不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 取定空间任意一点O，空间一点P位于平 ... ...