《2.2.2直线的两点式方程》教案

第二章 直线和圆的方程 2.2.2直线的两点式方程 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围； 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 3.通过直线方程的两点式和斜截式的学习与应用，进一步提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养. 重点：直线方程两点式和截距式. 难点：两点式和截距式推导过程的理解. （一）创设情境 在植树时，可以将每一行树近似地看做一条直线，只要确定两个树坑的位置，就能够确定这行树所在的直线.生活中“两点确定一条直线”的例子随处可见，那么在直角坐标系内，怎么通过两点确定一条直线的呢？ 师生活动：老师给出生活中的例子，引导学生结合实际进行思考并进行回答. 设计意图：通过生活经历，使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：建立直线的两点式方程 思考：如果有一条直线l过A(-2，2)和B(3，-3)两点，求直线的方程？ 要求：先独立思考，再合作交流. 答：直线l的斜率k ＝ ＝ －1，代入直线的点斜式方程y－＝k (x－)可得y－(－3) ＝ －1 (x－3)，所以此直线的方程为y+3＝－x+3，即x+y＝0 . 思考：已知直线 l 经过任意两点，其中 ，如何求直线 l 的方程？ 要求：先独立思考，再合作交流. 答：由于，直线l的斜率为k ＝ .任取， 中的一点，我们取 ，由直线的点斜式方程，得 y －＝ (x－)，当时，上式可以写为.这就是经过两点(其中 )的直线方程.我们称 为直线的两点式方程，简称两点式. 师生活动：教师提出问题，引导学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，最后求出直线方程.通过直线的点斜式方程得出了直线的两点式方程. 思考：我们通过直线的点斜式方程得出了直线的两点式方程，同时得出了两点式方程成立的条件.如图所示.如果不使用点斜式方程，你能否得出两点式方程呢？ 提示：在直线l上任取一点，则中任意两点所在的直线斜率存在什么关系呢？ 合作探究： 1. 先独立思考，然后小组内交流思路； 2. 小组合作完成探究； 3. 选派代表并汇报得出结论. 答：由于同一条直线上，任意两点组成的线段之间，斜率都相等.设点 P (x，y)为直线 l 上任意一点，则线段P与线段的斜率相等，所以 ，整理得 .(其中 ) 思考：我们已经知道了直线 的两点式方程成立条件是且，那么当 时，直线的方程是什么样的呢，你可以在平面直角坐标系中画出来吗？当 时呢？ 答： 当 时，直线垂直于x轴，直线方程为x-0，即x=. 当 时，直线垂直于y轴，直线方程为y-0，即y=. 师生活动：教师提出问题，引导学生通过画图、观察，进行总结分析，得出和时的直线方程. 设计意图：使学生懂得两点式的适用范围和当已知的条件不满足两点式的条件时它的方程形式. 总结： 定义条件 两点(其中 ) 方程 范围 不能表示与两坐标轴垂直的直线 其他情形 直线垂直于x轴(斜率不存在) 直线垂直于y轴(斜率为0) 图示 方程 直线方程为 x－＝0， 即x＝. 图示 方程 直线方程为 y－＝0， 即y＝. 任务2：截距式方程 探究：已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程. 解：将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得： ，即： +1，所以直线的方程为： . 师生活动：教师提出问题，引导学生进行思考，以便引出新知识. 【概念形成】 我们称直线l 与x轴的交点A(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，直线l 与y轴的交点B(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.由于直线的方程是由A(a，0)，B(0，b)确定的，所以我们称其为直线的截距式方程，简称截距式. 思考：截距式方程不适用于什么直线？ 答：截距式方程不能表示过原点的直 ... ...