《2.2.3直线的一般式方程》教案

第二章 直线和圆的方程 2.2.3直线的一般式方程 1.明确直线的一般式方程的概念，会在直线的不同形式之间进行转化. 2.了解直线的一般式方程与二元一次方程的关系，会进行分类讨论，了解确定类的依据. 3.明确直线的一般式方程的几种特殊情况，以及对应的系数的取值情况. 重点：直线的一般式方程的概念，直线的不同形式之间的转化. 难点：进行分类讨论，了解确定类的依据. （一）创设情境 我们之前学过了四种直线方程，你能分别说出它们的使用范围是什么吗？ 点斜式方程 斜率k必须存在才可以 斜截式方程 是点斜式的一种特殊情形，斜率k必须存在才可以. 两点式方程 截距式方程 ，且不能表示过原点的直线. 能否找到一种直线方程，它可以表示任何的直线呢？ 师生活动：教师给出直线方程的不同表达形式，并提出问题，引导学生进行思考，总结规律. 设计意图：通过对已经学过的知识进行总结，引导学生进行思考，充分发挥学生的主体作用，有助于锻炼学生的总结概括能力，为本节课内容做铺垫. （二）探究新知 任务1：直线与二元一次方程的关系 思考：1.根据前面学习的直线方程形式，分别使用点斜式、截距式、两点式和斜截式，求出对应的四个直线方程. 斜率是1，经过点(1，8)； 在x轴和y轴上的截距分别是-7，7； 经过两点(-1，6)，(2，9)； 在y轴上的截距是7，倾斜角是. 答：以上的答案分别是：y-8=x-1；；；y = x+7. 将以上四个式子化简之后得：； 我们发现，这四个方程都表示的是同一条直线.都是关于x，y的二元一次方程的形式. 思考：2.平面直角坐标系中的任意一条直线，都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？ 请同学们分组讨论： 根据直线l斜率的存在与否分类进行讨论，并说明理由. 答：对于任意一条直线l，在其上任取一点，当其斜率存在时，直线方程为 .显然，这是关于x，y的二元一次方程.当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为0 ，也可以认为是关于x、y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示. 思考：3.任意一个关于x、y的二元一次方程 Ax+By +C = 0( A、B不同时为0)都表示一条直线吗？ 答：当B0时，方程Ax+By +C = 0可变形为 ，它表示过点 ，斜率为的直线 ；当B=0时，A0，方程可变形为 ，它表示过点，且垂直于x轴的直线.平面上任一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示；反之，任何一个关于x、y的二元一次方程都可以表示一条直线. 设计意图：通过引导学生对平面直角坐标系中的任意一条直线进行思考，让学生对问题进行分类讨论，发挥学生的课堂主体作用，使学生在思考中得出一般性的知识结论. 任务2：直线的一般式方程 【概念形成】 我们把关于x、y的二元一次方程 叫做直线的一般式方程，简称一般式（其中A、B不同时为0）. 注意： (1)直线的一般式要满足 A，B不同时为0 (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 探究：在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线： （1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合；（4）与y轴重合. 答案：(1) A=0 且，，方程变为 ，表示直线平行于x轴； (2) B=0 且，，方程变为 ，表示直线平行于y轴； (3) A=0 且，，方程变为 ， 表示直线与x轴重合； (4) B=0 且，，方程变为 ， 表示直线与y轴重合. 师生活动：教师提出问题，并引导学生进行思考，教师可适当进行补充提醒. 设计意图：通过教师提出问题，引导学生进行定向思考，充分发挥学生主动性，引导学生总结概括规律. （三）应用举例 例1：已知直线经过点A(6，-4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点，斜率为的直线的点 ... ...