2024-2025学年人教版数学九年级上册同步能力提升讲义：24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（原卷+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 ■重点01 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外 d＞r； ②点P在圆上 d＝r； ①点P在圆内 d＜r． （2）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典例1】　（2024秋 温州期中）已知的半径为2，点到圆心的距离为1，则点在　　 A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【典例2】　（2024秋 拱墅区期中）已知的半径为4，点到圆心的距离为3.5，则点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【典例3】　（2024秋 闽清县期中）已知圆的直径为，若点与圆心的距离是，则　　 A．当时，点在外 B．当时，点在内 C．当时，点在内 D．当时，点在外 理解点和圆的位置关系的“两点”技巧： （1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d）和半径（r）的数量关系． （2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断． ■重点02 圆的确定 1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 2．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【典例1】　（2024 上饶一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】　（2023秋 桥西区期末）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】　（2023秋 遵化市期末）已知平面直角坐标系中的三个点分别为、、，则、、这三个点 　　确定一个圆（填“可以”或“不可以” ． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． ■重点03 直线与圆的位置关系 直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 【典例1】　（2024秋 南京期中）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则与的交点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】　（2024秋 渝中区校级月考）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是　　 A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【典例3】　（2024秋 邗江区校级月考）已知直线与相离，圆心到直线的距离为，则的半径可能为　　 A． B． C． D． 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交 d＜r； ②直线l和⊙O相切 d＝r； ③直线l和⊙O相离 d＞r． ■重点04 切钱的性质与判定 切线的性质和判定 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【典例1】　（2024秋 梁溪区校级期中）如图，是△的外接圆，，平分，且交于点，过点作，交的延长线于点，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【典例2】　（2024秋 长沙县期中）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （ ... ...