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课件网) 第七章 <<< 7.3.2 离散型随机变量的方差 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.掌握离散型随机变量的方差的性质. 3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题. 学习目标 均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征———方差进行研究. 导 语 一、离散型随机变量的方差、标准差 二、方差的性质 课时对点练 三、方差的实际应用 随堂演练 内容索引 一 离散型随机变量的方差、标准差 要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？ 问题1 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示 通过计算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平. 设离散型随机变量X的分布列为 (1)方差：D(X)= = (xi-E(X))2pi. (2)标准差：_____，记为σ(X). (x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)一般地，随机变量的方差是非负常数. (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小. (3)方差也可以用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2计算. (4)若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) .(其中p为成功概率) 注 意 点 <<< 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽 出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)= . 例 1 由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12，且P(X=6)==， P(X=9)==， P(X=12)==. 因此E(X)=6×+9×+12×=， D(X)=×+×+×=. (1)理解随机变量X的意义，写出X的取值. (2)求出X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)计算E(X). (5)计算D(X). 反 思 感 悟 求离散型随机变量方差的步骤 某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每 个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)= . 跟踪训练 1 由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. 故E(X)=0×+1×+2×+3×=， D(X)=×+×+×+×=× +×+×+×=. 二 方差的性质 提示 D=a2D. 你能推导出D与D的关系吗？ 问题2 离散性随机变量的方差的性质 若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX+b) = . a2D(X) 已知X的分布列如表所示： 例 2 (1)求X2的分布列； X -1 0 1 P a 由分布列的性质知++a=1， 解得a=， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P (2)计算X的方差； 方法一 由(1)知a=， 所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-， D(X)=×+×+×=. 方法二 由(1)知a=， 所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-. E(X2)=0×+1×=， 所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=. (3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 因为Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2， D(Y)=42D(X)=11. 反 思 感 悟 (1)公式：D(aX+b)=a2D(X). (2)优势：既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程. 方差性质应用的关注点 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，则D(2X-1)等于 A. B. C.4 D.5 跟踪训练 2 ∵P(X=k)=，k=1，2，3，4， ∴E(X)=×(1+2+3+4)=， D(X)=×=， ∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5. √ 三 方差的实际应用 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： 例 3 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗 ... ...
