2.1.2基本不等式（2知识点+4题型+强化训练）（含答案） 2024-2025学年高一数学上学期必修第一册同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019）

2.1.2 基本不等式 课程标准 学习目标 1 + + （ ）掌握基本不等式 ( , 0) 。结 （1）理解基本不等式 2 ( , 0)的证明;2 + 合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大 （2） 掌握利用基本不等式 2 ( , 0)求最值 值或最小值问题。 的常见方法. （难点) 知识点 01 基本不等式 若 > 0 , > 0，则 + ≥ 2 (当且仅当 = 时，等号成立). + ① 2 叫做正数 , 的算术平均数， 叫做正数 , 的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点 、 重合，即 = 时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是 > 0 , > 0；二定指的是 是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 4 【即学即练 1】 求函数 = + ( > 0)的最值. 解 + 4 ≥ 2 4 = 4，当 = 2是取到等号，故最小值是4. 知识点 02 基本不等式的变形 2 + 2 + 2 1 1 ≤ ≤ 2 ≤ 2 (当且仅当 = 时等号成立) + (调和均值 ≤ 几何均值 ≤ 算术均值 ≤ 平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① + ≥ 2 ，积定求和； + 2 ② ≤ 2 ，和定求积： 2 ③ 2 + 2 ≥ ( + )2 (联系了 + 与平方和 2 + 2) ≤ 2+ 2 ④ 2 (联系了 与平方和 2 + 2) 【即学即练 2】 若 > 0， > 0， + = 1，则（ ） A 1 1． + ≤ 1 B．4 ≤ 1 C． 2 + 2 ≥ 1 D． + ≤ 1 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立. 【详解】若 > 0， > 0， + = 1， 1 + 1 1 1 1 = + ( + ) = 1 + + +1 ≥ 2 + 2 = 4，当且仅当 = = 2等号成立，A 选项错误； 2 4 ≤ 4 × + = 1 1 2 ，当且仅当 = = 2等号成立，B 选项正确； 1 = ( + )2 = 2 + 2 +2 ≤ 2( 2 + 2)，得 2 + 2 ≥ 1 1 2，当且仅当 = = 2等号成立，C 选项错误； 2 + = + + 2 1 ≤ 2( + ) = 2，得 + ≤ 2，当且仅当 = = 2等号成立，D 选项错误. 故选：B 【题型一：基本不等式的内容及辨析】 例 1．下列命题中正确的是（ ） A．当 > 1 1 1时， + 的最小值为 2 B．当 < 0时， + ≤ ―2 1 1 C．当0 < < 1时， + 的最小值为 2 D．当 > 1时， + ≥ 2 2 【答案】B 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 1 1 1 1 【详解】选项 A， ∵ > 1， + ≥ 2 = 2，等号成立的条件是 = = 1，等号取不到，所以 + > 2，故 A 错误； 选项 B 1 1，当 < 0时， ― > 0， + = ― ( ― ) + ≤ ―2 ( ― ) 1 = ―2，当且仅当 = ― 1时等号成立， ― ― 故 B 正确； 1 1 选项 C，0 < < 1， + ≥ 2 1 = 2，等号成立的条件是 = 1，等号取不到，即 + > 2，故 C 错误； 1 1 2 选项 D.当 > 1时， + ≥ 2 1 = 2，等号成立的条件是 = ，即 = 1时等号成立，故 + > 2，故 D 错误. 故选：B 变式 1-1．下列说法正确的是（ ） A． + 1 最小值为 2 B． + 1 最大值为 2 1 1 C． 2 + 1 + 2+1最小值为 2 D． 2 + 1 + 2+1最大值为 2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当 > 0时， + 1 ≥ 2 1 × 1 = 2，当且仅当 = 即 = 1时，等号成立； < 0 + 1 = ― ( ― ) + 1当 时， ≤ ―2 ( ― ) × 1 = ―2， (― ) (― ) 1 当且仅当( ― ) = (― )即 = ―1时，等号成立；故选项 AB 错误； 1 1 任意 ∈ ， 2 + 1 + 2 ≥ 2 +1 ，当且仅当 2 + 1 = 2+1时， 2 1即 = 0也即 = 0时，等号成立，所以 2 + 1 + 2+1最小值为 2，故选项 C 正确； 1 1 当 趋向于无穷大时， 2 + 1 + 2+1也趋向于无穷大，所以 2 + 1 + 2+1无最大值， 故 D 错误. 故选：C. 变式 1-2．下列不等式中等号可以取到的是（ ） 1 A． 2 + 5 + ≥ 2 2 +2 + 1 ≥ 2 2+5 B． 2+2 1 C． 2 + 1 2 ≥ 2 D．| | + 3 + | |+3 ≥ 2 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即 ... ...