3.2.2 函数的奇偶性 课程标准 学习目标 （1）理解函数奇偶性的概念; （2）会判断函数的奇偶性； （1）结合具体函数, 了解奇偶性的概念和几何 （3）掌握函数奇偶性的性质. 意义。 （4）掌握函数性质（单调性、对称性、周期性）的 综合性问题（难点) 知识点 01 函数奇偶性的概念 1 函数奇偶性的概念 (1) 一般地，设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ( )，那么函数 ( )就叫做偶 函数. (2) 一般地，设函数 ( )的定义域为 ，如果 ∈ ，都有 ― ∈ ，且 ( ― ) = ― ( )，那么函数 ( )就叫做 奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域 是关于原点对称的. 注 ① 从定义可知，若 是函数定义域中的一个数值，则 ― 也必然在该定义域中．故判断函数的奇偶性的 前提是：定义域关于原点对称．如 ( ) = , ∈ ( ― 1,1]是非奇非偶函数. ② 函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函 数．从定义可知，既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即 ( ) = 0， ∈ ， 是关于原点对称的实数集． 2 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求 ( ― ) , 看下与 ( )的关系：若 ( ― ) = ( )，则 = ( )是偶函数； 若 ( ― ) = ― ( )，则 = ( )是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于 轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到 (1) ≠ ( ― 1)，则排除 ( )是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数 ( ) = ( ( ))的奇偶性如下图 ( ) ( ) ( ) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 【即学即练 1】 = 1函数 1+ ― 1 1― 的奇偶性是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可. 【详解】由函数解析式可知{ | ≠± 1, ∈ R}，即定义域关于原点对称， = 1 ― 1 = 1 ― 1又 ( ) 1+ 1― ( ― ) 1― 1+ = ― ( )， = 1所以函数 1+ ― 1 1― 是奇函数. 故选：A 知识点 02 函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于 轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数 ( )定义域内含有0，则 (0) = 0； 证明 ∵ ( )为奇函数， ∴ ( ― ) = ― ( )． 令 = 0，则 ( ―0) = ― (0)，即 (0) = ― (0)， ∴ (0) = 0． ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积 (或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 【即学即练 2】 1 函数 ( ) = 3 ― 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为 ( ) = 3 ― 1 , ∈ ( ― ∞,0) ∪ (0, + ∞), ( ― ) = ― 3 + 1 = ― ( )， 所以 ( )为奇函数， 当 > 0 1时， 为减函数， 3为增函数，故 ( )为增函数，故 B 选项正确. 故选：B. 【题型一：函数奇偶性的定义与判断】 例 1．下列函数为偶函数是（ ） 1 A． ( ) = 2 B． ( ) = | | +1 C． ( ) = ( 1 ) ― 3 D． ( ) = ―3 | | 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 1 【详解】对于 A 中，函数 ( ) = 2 = ，可得函数 ( )的定义域为[0, + ∞)，不关于原点对称，所以函数 ( )为非奇非偶函数，所以 A 不符合题意； 对于 B 中，函数 ( ) = | | +1，可得函数 ( )的定义域为R，关于原点对称， 且 ( ― ) = ― | ― | +1 = ― | | +1 ... ...
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