周测卷3 (范围:§8.1) (时间:50分钟 满分:100分) 一、单选题(本题共6小题,每小题5分,共30分) 1.已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),则cos
= ( ) - 2.已知长方形ABCD的边AB=3,AD=2,E为BC的中点,则·= ( ) -7 7 -11 11 3.在三角形ABC中,AC=3,AB=4,∠CAB=120°,则(+)·= ( ) 10 12 -10 -12 4.已知单位向量a,b满足a⊥(a-b),则= ( ) 5.已知向量a=(-1,-2),b=(4,-2),若(a-λb)⊥(a+μb),则 ( ) 4λμ=1 4λμ=-1 4(λ+μ)=1 4(λ+μ)=-1 6.某学校数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧AC上的一点,且∠PBC=α,则·的最小值为 ( ) 0 2-4 -2 2 二、多选题(本题共2小题,每小题6分,共12分) 7.已知|a|=|b|=|a+b|=1,下述结论正确的是 ( ) |a-b|= (a+b)·b= = (a-2b)·a=0 8.如图,已知正六边形ABCDEF的边长为1,则 ( ) ·=1 2·=1 (-)·=1 (-)·=1 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 9.已知向量a=(2,-1)与b=(,3)的夹角为θ,则|b|cos θ= . 10.如图,△ABC,△BDE都是边长为1的等边三角形,A,B,D三点共线,则·= . 11.在边长为6的正方形ABCD中,=2,M是BC中点,则·= ;若点P在线段BD上运动,则·的最小值是 . 四、解答题(本题共3小题,共43分) 12.(13分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a,b的夹角为60°. (1)求a+b的模; (2)若λa-6b与λa+b互相垂直,求λ的值. 13.(15分)已知向量a=(4,-2),b=(1,2). (1)若(a-3b)⊥(ka+2b),求k的值; (2)若c=(6,m),向量a-b与c的夹角为锐角,求m的取值范围. 14.(15分)设e1与e2均为单位向量. (1)若e1·e2=0,求向量e1-e2与e2的夹角; (2)若e1与e2的夹角为,设c=xe1+ye2,若|c|=3,求xy的最大值; 周测卷3 (范围：8.1) 1.A [因为a＝(3，1)，b＝(3，2)，c＝(1，4)，所以|a|＝，b－c＝(2，－2)， 则a·(b－c)＝4，|b－c|＝2，故cos〈a，b－c〉＝＝＝.] 2.A [·＝· (－)＝－2＋2＋·＝－32＋×22＝－7.] 3.A [记＝a，＝b，则|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，∵a·b＝|a|·|b|cos 120°＝12cos 120°＝－6，∴(b＋a)·b＝|b|2＋a·b＝16－6＝10.] 4.C [由a⊥(a－b)得a·(a－b)＝|a|2－a·b＝0，又a，b为单位向量，∴a·b＝， ∴cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]， ∴〈a，b〉＝.] 5.A [由题意可知，a－λb＝(－1－4λ，－2＋2λ)，a＋μb＝(－1＋4μ，－2－2μ)， 由(a－λb)⊥(a＋μb)得，(－1－4λ)(－1＋4μ)＋(－2＋2λ)(－2－2μ)＝0， 整理得5－20λμ＝0，所以4λμ＝1.A正确.] 6.C [因为P为弧AC上的一点，则||＝2，且||＝2，可知·＝·(－)＝·－2＝·－4，由图形可知：当点P与点A重合时，向量在方向上的投影数量取到最小值，此时·＝·－4≥2×2×－4＝－2，所以·的最小值为－2.] 7.AB [∵|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1 a·b＝－ 〈a，b〉＝， 对于A，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝3 |a－b|＝，A正确；对于B，(a＋b)·b＝a·b＋b2＝，B正确；对于C，cos〈a－b，b〉＝＝＝－ 〈a－b，b〉＝≠，故C错误；对于D，(a－2b)·a＝a2－2a·b＝2≠0，故D错误.] 8.AB [连接AD，BE，CF，交于点O，由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形， 对于A，·＝1×2·cos 60°＝1，A正确； 对于B，2·＝·＝2×1·cos 60°＝1，B正确； 对于C，(－)·＝·＝·＝·1·cos 30°＝，C错误； 对于D，(－)·＝·＝1×1·cos 180°＝－1，D错误.] 9.－ [由题意，得a·b＝－，|a|＝， 所以|b|cos θ＝＝－.] 10.3 [因为△ABC， ... ... 